Elementos de Análise e Álgebra I

Objectivos

Fornecer uma primeira noção, a par de capacidade de utilização, de técnicas matemáticas das áreas de Álgebra Linear e Análise.

Caracterização geral

Código

10707

Créditos

6.0

Professor responsável

Cláudio António Raínha Aires Fernandes

Horas

Semanais - 6

Totais - 78

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Conhecimentos básicos de Matemática Ensino Secundário

Bibliografia

[1] Cabral, I. & Perdigão, C. & Saiago, C. - Álgebra Linear, Escolar Editora, 2008.

[2] Anton, H. & Rorres, C. - Elementary Linear Algebra, Applications version, 9th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2005.

[3] Lang, S. - A first course in Calculus. Springer-Verlag, 1986.

[4] Sá, A. & Louro, B. – Análise Matemática, Teoria e Exercícios (Departamento de Matemática da F.C.T-U.N.L). 

Método de ensino

As aulas teóricas consistem na exposição dos conteúdos programáticos, ilustrados com exemplos. As aulas práticas consistem na resolução de exercícios de aplicação desses conteúdos.

Os alunos têm antecipadamente à sua disposição um guião com os apontamentos teóricos e práticos para as aulas.

Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas, nas horas semanais de atendimento aos estudantes, ou ainda em sessões extra combinadas directamente entre aluno e professor.

Os estudantes deverão assistir às aulas teóricas e práticas, podendo dar 3 faltas injustificadas durante o semestre.

O estudante pode realizar a disciplina por avaliação contínua, através de três testes intercalares, ou por exame final.

Método de avaliação

1 - FREQUÊNCIA À DISCIPLINA

 Para obter classificação na disciplina, é necessário que o aluno obtenha frequência ou que dela esteja dispensado.

 Para obter frequência:

 - o aluno de primeira inscrição não pode exceder o limite de três faltas injustificadas às aulas teóricas E três faltas injustificadas às aulas práticas, ou possuir algum estatuto especial que preveja a dispensa de comparência a aulas (e.g., trabalhadores estudantes).

- o aluno de inscrição superior à primeira não pode exceder o limite de oito faltas injustificadas às aulas teóricas OU oito faltas injustificadas às aulas práticas, ou possuir algum estatuto especial que preveja a dispensa de comparência a aulas (e.g., trabalhadores estudantes).

2 – AVALIAÇÃO DE CONHECIMENTOS

A avaliação de conhecimentos é realizada através de três testes intercalares, cada um com duração de uma hora, ou através de um exame, com duração de três horas.

Os alunos devem inscrever-se para as provas de avaliação, através do CLIP, no decurso do período aí estipulado.

Só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que, no ato da prova, sejam portadores de Bilhete de Identidade ou Cartão de Cidadão, Cartão de Estudante e caderno de exame (com cabeçalho não preenchido).

2.1 – Avaliação contínua

Podem apresentar-se ao terceiro teste todos os alunos que tenham obtido frequência ou que dela estejam dispensados.

O primeiro e o terceiro testes terão um peso de 35%  na nota da avaliação contínua, NAC, e o segundo teste um peso de 30%. Assim,  sendo

     T1=Classificação do 1º Teste (1-20 valores);

     T2= Classificação do 2º Teste (1-20 valores);

    T3= Classificação do 3º Teste (1-20 valores),

a nota da avaliação continua calcula-se usando a fórmula,

     NAC=0,35*T1+0,30*T2+0,35*T3.

Se  9,5 ≤ NAC ≤ 17,4 então  o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades.

Se  NAC ≥ 17,5  então o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 valores ou realizar uma prova complementar para "defesa" de nota.

Se NAC< 9,5 então o aluno não é aprovado por avaliação contínua.

O aluno não aprovado por avaliação contínua pode optar por melhorar a classificação de um teste na data e hora do exame de recurso (em substituição da realização do exame de recurso).

2.2 - Exame de Recurso

Podem apresentar-se a exame de recurso todos os alunos inscritos e não aprovados na disciplina que tenham obtido frequência ou que dela estejam dispensados.

Se a classificação do exame de recurso, NR, for superior ou igual a 9,5 valores e inferior ou igual a 17,4 valores, o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades.

Se a classificação do exame de recurso for superior ou igual a 17,5 valores, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

Se a classificação do exame de recurso for inferior ou igual a 9,4 valores o aluno reprova.

3 – MELHORIA DE NOTA

Todos os alunos que pretendam apresentar-se a exame de melhoria de nota devem inscrever-se, para esse efeito, através do CLIP.

Se a classificação do exame de melhoria, NEM, for superior à classificação obtida anteriormente na disciplina, será considerada como classificação final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.

Conteúdo

Primeira Parte - Álgebra Linear

1 - Sistemas de equações lineares

1.1  Matrizes. Exemplos. Operações com matrizes (transposição, soma, multiplicação escalar, produto) - definição e propriedades. Matrizes invertíveis.

1.2 Sistemas de equações lineares. Matriz simples e matriz ampliada de um sistema. Operações elementares sobre matrizes. Matriz escalonada por linhas e matriz escalonada por linhas reduzida (matriz de Hermite). Característica de uma matriz. Resolução e discussão de sistemas.

1.3  Determinante - definição e propriedades. Relação entre determinante e invertibilidade de uma matriz. Regra de Cramer e aplicações.

1.4 Valores e vetores próprios. Definição. Diagonalização de uma matriz quadrada e aplicações.

Segunda Parte - Análise

2 - Limites e continuidade

2.1 Breves revisões sobre funções reais de variável real: funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas. Função inversa de uma função bijetiva. Funções trigonométricas inversas. Breves noções de topologia em R. 

2.2 Limites de funções reais de variável real: definição; limites laterais; álgebra dos limites; teorema das funções enquadradas. Funções contínuas: definição e propriedades. Teorema de Bolzano e Teorema de Weierstrass.

3 - Cálculo Diferencial em R

3.1 Derivada de uma função num ponto: definição, interpretação geométrica e propriedades. Teorema de Rolle e de Lagrange. Regra de Cauchy e aplicações.

3.2 Teorema de Taylor com resto de Lagrange e aplicações.

4 – Cálculo Integral em R

4.1 Noção de primitiva de uma função contínua num intervalo. Cálculo prático de primitivas. Primitivação por partes e por substituição: exemplos envolvendo a primitivação de funções irracionais e transcendentes. Primitivação de funções racionais.

4.2 Integral de Riemann: definição e interpretação geométrica. Integrabilidade das funções seccionalmente contínuas. Teorema do valor médio. Teorema Fundamental do Cálculo e Regra de Barrow. Cálculo prático de integrais definidos: Integração por partes e integração por substituição. Aplicações.