Geometria Diferencial

Objectivos

Introduzir os alunos nos resultados clássicos sobre a Geometria Diferencial de curvas e superfícies em ℝ3 e dar-lhes métodos de visualização geométrica de forma a permitir-lhes abrir horizontes para abordarem generalizações e as teorias geométricas modernas

Caracterização geral

Código

10837

Créditos

6.0

Professor responsável

Ana Cristina Malheiro Casimiro, João Pedro Bizarro Cabral

Horas

Semanais - 5

Totais - 98

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Álgebra Linear I e II, Geometria, Análise Matemática III e IV

Bibliografia

Pressley, "Elementary differential geometry" , Springer Undergraduate Mathematics Series, 2010

M. P. Carmo, "Differential Geometry of curves and surfaces", Dover Publications, 2016.

O’Neil, "Elementary differential geometry ", Academic Press, Elsevier, 2006.

S. Montiel e A. Ros "Curves and surfaces" Graduate Studies in Mathematics, 69. AMS, Providence, RI; Real Sociedad Matemática Española, Madrid, 2005.

E. Abbena, A. Gray, S. Salamon, "Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica" Chapman, Boca Raton, 2006

Método de ensino

Aulas teórico-praticas onde se introduz e se motiva o aluno nas matérias a estudar, problemas a resolver e esclarecimento de dúvidas sobre a matéria e resolução de exercícios.

Método de avaliação

Frequência

Será concedida Frequência a qualquer aluno que não falte injustificadamente a mais do que 1/3 das aulas lecionadas. Estão dispensados de frequência os alunos que a tenham obtido no ano letivo anterior ou que tenham algum dos estatutos especiais previstos por lei.

A avaliação de conhecimentos é realizada através de Avaliação Contínua ou Exame de Recurso.

Avaliação Contínua

Ao longo do semestre serão realizados dois testes com duração de 1 hora 30 minutos e uma avaliação das aulas práticas (ap).  Cada teste tem classificação até um máximo de 20 valores e a avaliação das aulas práticas será entre 0 e 2 valores.

 1º Teste (t1): podem apresentar-se ao 1º teste todos os alunos inscritos na disciplina.

  2º Teste (t2): podem apresentar-se ao 2º teste todos os alunos inscritos na disciplina que tenham obtido frequência ou tenham estatuto especial.

Avaliação das aulas práticas: o docente fornece uma lista de exercícios, semanalmente, aos alunos. Estes têm que resolvê-la fora das aulas, entregar a resolução na aula onde terão que efetuar uma exposição oral. Cada destas será avaliada pelos docentes com uma classificação inteira entre 0 e 2 valores. No final do semestre é efetuada a média aritmética simples de todas as classificações (ap).

A classificação da avaliação contínua (AC) é obtida através da seguinte fórmula:

AC=Min( (t1+t2)/2+ap , 20 )

O aluno é aprovado na disciplina se AC for superior ou igual a 9,5 valores. Se AC for inferior a 16,5 valores a nota final da disciplina será AC. Se AC for superior ou igual a 16,5 valores o aluno pode optar entre obter uma nota final de 16 valores ou realizar uma prova suplementar de defesa de nota.

Exame de Recurso 

Podem apresentar-se a Exame de Recurso todos os alunos inscritos na disciplina que tenham obtido Frequência ou tenham estatuto especial. 

Na data e hora previstas para a realização do Exame de Recurso , qualquer aluno inscrito na disciplina que tenha obtido Frequência ou tenha estatuto especial e que não tenha obtido aprovação na Avaliação Contínua pode realizar o exame de 3 horas. 

Se o aluno realizar o Exame de Recurso (a sua classificação é er) e

AE=Min( er+ap , 20 )

for superior, ou igual, a 9,5 valores, o aluno fica aprovado. Se AE for inferior a 16,5 a nota final da disciplina será AE. Se AE for superior ou igual a 16,5 valores o aluno pode optar entre obter uma nota final de 16 valores ou realizar uma prova suplementar de defesa de nota.

Melhoria de nota

Os alunos têm direito de efetuar melhoria de nota, mediante inscrição nos prazos fixados, na época de recurso. Nesse caso, efetuam um Exame de 3 horas como descrito na alínea anterior. 

Logística

Com o objetivo de racionalizar os recursos da FCT (instalações, pessoal docente e pessoal não docente), só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que se inscrevam para o efeito através do CLIP, no decurso do período aí estipulado. Só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que, no ato da prova, sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão,  Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante) e caderno de exame em branco.

Considerações finais

Em tudo o que presente Regulamento seja omisso valem os Regulamentos Gerais da FCT-UNL.

Conteúdo

1. Estudo de Curvas em ℝn: parametrização por comprimento de arco, reparameterização, curvatura e torção, triedro de Frenet
2. Estudo de superfícies em ℝ3: superfícies regulares, espaço tangente, aplicações suaves entre superfícies, diferencial, normal e orientação, superfícies de nível e quádricas, primeira forma fundamental, isometrias.
3. Curvatura de superfícies: segunda forma fundamental, aplicação linear de Weingarten e aplicação de Gauss, curvaturas geodésicas e normais, transporte paralelo e derivada covariante, curvaturas principal, média e de Gauss, superfícies plana, superfície de curvatura média constante, curvatura de Gauss de superfícies compactas.
4. Geodésicas: definição e propriedades, equações de geodésicas, exemplos e aplicações.
5. Teorema Egrégio de Gauss.
6. Teorema de Gauss-Bonnet . (opcional)

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: