Probabilidades e Estatística I

Objectivos

Dar aos alunos as bases necessárias em probabilidades de modo a se poderem facilmente relacionar com as principais distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias e poderem entender o sentido de alguns dos principais resultados relativos a operações sobre variáveis aleatórias, nomeadamente somas, de modo a ser possível  formar uma base sólida para a correcta utilização dos processos inferenciais básicos, nomeadamente os relativos a testes a proporções, médias, variâncias, quantis e medianas de variáveis aleatórias.

Caracterização geral

Código

10975

Créditos

6.0

Professor responsável

Carlos Manuel Agra Coelho

Horas

Semanais - 5

Totais - 70

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Os alunos deveram ter conhecimentos básicos ao nível da análise matemática (sucessões em progressão aritmética e geométrica, somatórios, séries, derivação  e integração).

Bibliografia

Coelho, C. A. (2008). Tópicos em Probabilidades e Estatística, Vol. I, Vol. II (Cap.s 6,7).

Mood, A. M., Graybill, F. A. e Boes, D. C. (1974). Introduction to the Theory of Statistics, 3ª ed., J. Wiley & Sons, New York.

Montgomery, D. C. e Runger, G. C. (1998). Applied Statistics and Probability for Engineers, 2ª ed., J. Wiley & Sons, New York.

Ross, S. M. (1999). Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists. J Wiley & Sons, New York.

Murteira, B. J. F. (1990). Probabilidades e Estatística, Vol I, 2ª ed., McGraw-Hill Portugal, Lisboa.

Rohatgi, V. K. (1976). An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics. J. Wiley & Sons, New York.

 

Método de ensino

  • 2 Aulas Teóricas semanais num total de 3 horas semanais, onde são expostos e analisados os conceitos e deduzidos os principais resultados e apresentados alguns exemplos.
  • 1 Aula Prática semanal de 2 horas onde são resolvidos exercícios e problemas relativos à matéria apresentada nas Aulas Teóricas

Método de avaliação

1. Requisitos

Para poderem aceder à avaliação da Disciplina, tanto testes como Exame de Recurso, os alunos em primeira inscrição terão de ter uma assiduidade de pelo menos 80% e os outros de 2/3, quer às Aulas Teóricas, quer às Aulas Práticas (a frequência, uma vez obtida, e no caso de tal ser necessário, manter-se-á válida para o ano letivo seguinte).

 2. Avaliação

  • A forma de avaliação recomendada consiste em 2 Testes:
    • 1º Teste - peso: 40% - 8 de Abril  (necessária e permitida a utilização de uma calculadora simples, não-gráfica)
    • 2º Teste - peso: 60% - dia 12 de Junho (sem utilização de calculadora)
    • Obterá aprovação todo o aluno que tiver uma classificação final de 9,5 valores ou mais.
  • Os alunos que não tenham obtido uma classificação final de 9,5 valores, ou mais, através da realização dos testes acima, poderá submeter-se a Exame de Recurso, se tiver obtido frequência.
  • Também os alunos que pretendam tentar subir a nota obtida através da realização dos Testes, poderão submeter-se a Exame de Recurso (caso tenham obtido frequência)
  • Os alunos com classificação superior a 17 valores deverão realizar uma prova oral de ‘defesa de nota’. Se não o fizerem ficarão com a classificação de 17 valores.

Conteúdo

1 – Cálculo Combinatório (breve revisão) 

2 – Teoria Elementar da Probabilidade

  • Experiência aleatória e Espaço de resultados
  • Evento e Espaço de eventos
  • O conceito de Probabilidade. Propriedades das Probabilidades
  • Probabilidade condicional e independência de eventos
    • Alguns resultados úteis e interessantes, envolvendo probabilidades condicionais
    • Independência condicional e Independência (marginal)
    • Odds e Odds ratio
    • Exemplo ilustrativo da razão de ser da definição de independência de mais de dois eventos
    • Exemplos de aplicação (da noção de probabilidade condicional, da fórmula de Bayes e dos Teoremas de Bayes e das Probabilidades Totais)
    • Os Lemas de Borel-Cantelli

3 – Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade

  • Definição de variável aleatória. Exemplos
  • Funções de distribuição de probabilidade de variáveis aleatórias. Propriedades. Quantis
  • As funções de sobrevivência e risco – duas outras formas de representar a distribuição de uma v.a.
    • Dedução e estudo de uma função de risco
    • Funções de sobrevivência e risco para v.a.s discretas
  • Valor esperado. Propriedades. Momentos. Algumas desigualdades importantes envolvendo momentos
  • Funções geradoras de momentos e funções características
  • A distribuição de Y = g(X)

4 – Distribuições conjuntas e distribuições condicionais de variáveis aleatórias

  • Distribuição conjunta de duas ou mais variáveis aleatórias
  • Momentos conjuntos e momentos marginais
  • A função geradora de momentos conjunta
  • Distribuições condicionais e independência
    • Momentos condicionais
    • O valor esperado condicional
    • Algumas notas adicionais sobre o valor esperado condicional
    • Independência de v.a.s
    • Consequências da independência
    • Outras distribuições condicionadas
    • As distribuições truncadas como casos particulares de distribuições condicionais
  • Distribuições conjuntas de v.a.s de tipos diferentes
  • A distribuição de (Y1, Y2) = g(X1,X2)
  • As distribuições da Soma, Diferença, Produto e Quociente de duas v.a.s
  • Misturas

5 – Variáveis aleatórias Discretas

  • Distribuição Uniforme
  • Distribuição Geométrica
  • Distribuição Binomial Negativa
  • Distribuição Bernoulli
  • Distribuição Binomial
  • Distribuição Hipergeométrica
  • Distribuição Poisson

6 – Variáveis aleatórias Contínuas

  • Distribuição Exponencial
  • Distribuição Normal
  • Distribuição Qui-quadrado
  • Distribuição T
  • Distribuição F
  • Distribuição Gama

7 – Breve referência a variáveis aleatórias Multivariadas

  • Distribuição Multinomial
  • Distribuição Normal Multivariada

 

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: