Análise Matemática III A

Objectivos

O essencial do programa é dedicado ao cálculo diferencial de funções reais de várias variáveis incluindo a regra de derivação das funções compostas e a derivação de funções definidas implicitamente através de equações e sistemas de equações.  É ainda aplicado o teorema das funções implícitas ao estudo da invertibilidade local de transformações pontuais. No que respeita ao breve parágrafo sobre linhas, o objectivo principal é resolver a questão da determinação da envolvente de uma família de linhas planas. No capítulo sobre equações diferenciais ordinárias pretende-se que o aluno se familiarize com as técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem lineares e não lineares e é dedicada especial atenção às equações diferenciais lineares de ordem superior à primeira.

Caracterização geral

Código

10976

Créditos

6.0

Professor responsável

Elvira Júlia Conceição Matias Coimbra

Horas

Semanais - 6

Totais - 84

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Pressupõe conhecimentos sobre assuntos leccionados quer em Análise Matemática I-A  quer em Análise Matemática II-A.

Bibliografia

1. Apostol, T. M. - Volume I e Volume II - Blaidsell Publishing Company
2. Braun, Martin - Differential Equations and their Applications, Springer-Verlag
3. Freitas, A.C. - Linhas e Superfícies - Aplicações; Equações diferenciais Ordinárias - Notas de lições para o 2º ano das Licenciaturas da FCT.
4. Kreysig - Advanced Engineering Mathmatics
5. Taylor, A. E.; Man, W. R. - Advanced Calculus

Método de ensino

As matérias  teóricos são apresentadas e explicadas na primeira parte da aula teórico-prática.  Estes conceitos  são imediatamente aplicados na resolução de problemas.  Os alunos são incentivados a  resolver exercicios  escolhidos para trabalho de casa.

Método de avaliação

A. Mat. III A

Métodos de Avaliação

1º Semestre do Ano Lectivo 2017/2018

1. Requisitos

Só poderão apresentar-se a qualquer das provas escritas e consequentemente ser avaliados nesta unidade curricular, os alunos que:

i. satisfaçam o critério de Frequência, ou dele estejam dispensados;

ii. no acto da prova sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão,  Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante).

2. Frequência 

Será concedida Frequência a qualquer aluno que não falte, injustificadamente, a mais do 1/3 das aulas Teorico e Práticas leccionadas.

Estão dispensados da obtenção de Frequência todos os alunos que possuam um estatuto especial que contemple a referida dispensa (trabalhador estudante ou qualquer outro reconhecido pelas regras gerais de avaliação da FCT-UNL) ou que tenham obtido frequência no ano lectivo anterior.

3. Avaliação contínua

Ao longo do semestre serão realizados três testes. Para poder realizar qualquer prova, o aluno tem de satisfazer o critério de Frequência, ou dele estar dispensado. Nas condições anteriores, seja T1 a classificação obtida no primeiro teste, T2 a obtida no segundo e T3 a obtida no terceiro (todas em valores não arredondados). Considere-se

AC = (T1+T2+T3)/3.

Se AC≥9.5 e T3 ≥ 7.5 o aluno é aprovado  e a classificação final ACF será obtida por arredondamento de AC às unidades

 Se 10 ≤ ACF ≤ 17, o aluno fica aprovado com a classificação final ACF. Se ACF ≥ 18, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

4. Época de recurso

Podem apresentar-se a exame na época de recurso todos os alunos inscritos, e ainda não aprovados na disciplina, que estejam nas condições do ponto 2.

Este exame consiste numa prova escrita com duração de 3 horas que versa sobre a totalidade dos conteúdos da disciplina.

Ao exame será atribuída uma classificação entre 0 e 20 valores (E), estando o aluno aprovado à disciplina, se a classificação final EF, depois de arredondada às unidades, for superior ou igual a 10 valores.

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Se 10 ≤ EF ≤ 17, o aluno fica aprovado com a classificação final ACF. Se EF ≥ 18, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.


Conteúdo

1. Funções reais de várias variáveis reais
1.1. O espaço Euclidiano n-dimensional. Métrica euclidiana. Espaços métricos.
1.2. Funções reais de várias variáveis – exemplos. Limites. Continuidade.
1.3. Derivadas parciais. Teorema de Schwarz. Diferencial.
1.4. Derivação de funções compostas.
1.5. Derivada direccional.
1.6. Teorema dos acréscimos finitos.
1.7. Fórmula de Taylor.
1.8. Transformações pontuais.
1.8.1. Teorema das funções implícitas.
1.8.2. Invertibilidade de transformações pontuais.

1.9.

Extremos relativos. Extremos condicionados. Método dos multiplicadores de Lagrange

2. Linhas em IR2
2.1. Representações vectoriais, paramétricas e cartesianas.
2.2. Linhas regulares.
2.3. Equações da tangente e da normal a uma linha num ponto.
2.4. Envolvente de uma família de linhas planas.
2.5. Rectificação de linhas planas.
3. Equações diferenciais ordinárias
3.1. Equações diferenciais de primeira ordem.
3.1.1. Diferenciais exactas.
3.1.2. Métodos do factor integrante.
3.1.3. Equações de variáveis separáveis.
3.1.4. Equações homogéneas.
3.1.5. A equação linear de primeira ordem.
3.1.6. Equações não resolvidas em ordem a dy/dx.
3.2. Equações diferenciais de ordem superior à primeira.
3.2.1. Equações onde não aparece explicitamente a variável independente ou a função incógnita.
3.2.2. Equação diferencial linear de ordem n, homogénea.
3.2.3. Método da variação das constantes arbitráris para a resolução da equação diferencial linear de ordem n não homogénea.
3.2.4 Determinação de soluções particulares de uma equação diferencial linear de ordem n, não homogénea de coeficientes constantes.
3.2.5 Equação de Euler.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: