Análise Numérica I

Objectivos

Na unidade curricular de Análise Numérica I, pretende-se que os alunos fiquem familiarizados com alguns métodos numéricos clássicos, nomeadamente:

1. Para resolução de equações não-lineares;

2. Em interpolação e teoria da aproximação;

3. Em derivação e integração numérica;

4. Para resolução de sistemas de equações lineares.

Procurar-se-á ainda que os alunos tenham um primeiro contacto com um sistema computacional algébrico e que implementem computacionalmente os métodos abordados com o recurso a pseudocódigos.

Caracterização geral

Código

10979

Créditos

6.0

Professor responsável

João Filipe Lita da Silva

Horas

Semanais - 6

Totais - 126

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Conhecimentos básicos de Análise Real e Álgebra Linear.

Bibliografia

1. R.L. BURDEN, J.D. FAIRES, Numerical Analysis (Ninth Edition), Brooks/Cole, Cengage Learning, 2011.

2. J.L. BUCHANAN, P.R. TURNER, Numerical Methods and Analysis, McGraw-Hill International Editions, 1992.

3. M.P.J. CARPENTIER, Análise Numérica, Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico, 1993.

4. W. GAUTSCHI, Numerical Analysis (Second Edition), Birkhäuser, 2012.

5. F.B. HILDEBRAND, Introduction to Numerical Analysis (Second Edition), Dover Publications, 1987. 

6. D. KINCAID, W. CHENEY, Numerical Analysis: Mathematics of Scientific Computing (Third Edition), American Mathematical Society, 2002.  

7. H. PINA, Métodos Numéricos (Segunda Edição), Escolar Editora, 2010.

Método de ensino

A teoria é explicada aos alunos durante as aulas teóricas com demonstração completa (ou apresentado um esboço da prova) dos principais resultados teóricos e exemplos ilustrativos de aplicação exibidos. Nas aulas práticas, são resolvidos e comentados pelo professor alguns problemas propostos em lista de exercícios, dando também a oportunidade aos alunos de trabalhar na resolução dos mesmos.

Método de avaliação

1. A avaliação de conhecimentos é feita através de duas componentes: componente teórico-prática e componente de projecto.

2. A componente teórico-prática é constituída por dois testes ou, em alternativa, um exame final. 

(a) Cada teste é classificado entre zero e vinte valores tendo um peso de 40% na classificação final.

(b) O exame final é classificado entre zero e vinte valores tendo um peso de 80% na classificação final.

3. A componente de projecto é classificada entre zero e vinte valores tendo um peso de 20% na classificação final.

(a) A componente de projecto consiste na realização de trabalhos individuais/grupo e a sua classificação é apurada calculando a média simples das classificações obtidas nos trabalhos individuais/grupo (cada trabalho individual/grupo é classificado entre zero e vinte valores).

4. Um aluno é aprovado se obtiver uma classificação final, arredondada às unidades, igual ou superior a 10 valores.

 

Conteúdo

0.     Preliminares

0.1            Generalidades sobre erros.

0.2            Alguns sistemas computacionais algébricos.

1.    Soluções de equações com uma variável

1.1            O método da bissecção

1.2            O método do ponto fixo

1.3            O método de Newton-Raphson

1.4            O método da Secante, o método da Falsa Posição e o método de Müller

1.5            Análise do erro e convergência. Aceleração de Aitken. Generalidades sobre polinómios (método de Horner)

2.    Interpolação e aproximação polinomial

2.1            Interpolação e polinómios de Lagrange

2.2            Diferenças divididas

2.3            Interpolação de Hermite

2.4            Interpolação por splines cúbicos

3.    Derivação e integração numérica

3.1            Derivação numérica

3.2            Elementos de integração numérica

3.3            Integração numérica composta

3.4            Quadratura Gaussiana

4.    Métodos directos para a solução de sistemas de equações lineares

4.1            Sistemas de equações lineares (método de Gauss)

4.2            Escolha de pivot

4.3            Factorização de matrizes

4.4            Tipos especiais de matrizes

5.    Técnicas iterativas em Álgebra Matricial

5.1            Normas de vectores e matrizes

5.2            Valores e vectores próprios

5.3            O teorema de Gershgorin

5.4            Métodos iterativos para sistemas de equações lineares (métodos de Jacobi, de Gauss-Seidel e de relaxação)

6.    Teoria da aproximação

6.1            Aproximação dos mínimos quadrados

6.2            Polinómios ortogonais (polinómios de Chebyshev)

6.3            Aproximação de funções racionais (aproximação de Padé)

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: