Topologia e Introdução à Análise Funcional

Objectivos

Nesta disciplina pretende-se que os alunos se familiarizem com os conceitos básicos, princípios e métodos em Topologia e Análise Funciona. Embora seja dada uma ênfase especial aos espaços lineares normados,  de dimensão arbitrária, são desenvolvidas ideias e estabelecidos alguns resultados fundamentais em espaços lineares topológicos. São estabelecidas as báses da teoria mais avançada dos espaços normados, espaços de Banach e espaços de Hilbert. Sem a utilização da referida teoria, o uso destes espaços e suas aplicações seria bastante limitada.

Caracterização geral

Código

10984

Créditos

6.0

Professor responsável

Elvira Júlia Conceição Matias Coimbra

Horas

Semanais - 6

Totais - 84

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Pressupõe que os alunos dominem os assuntos leccionados nasdisciplinas de Álgebra Linear e Análise Matemática.

Bibliografia

 1. Bollobás, B. (1990),  Linear Analysis, an Introductory Course, Cambridge University Press.

2.    Kreyszig, E. (1978), Introductory Functional Analysis with Applications,  New York: John Wiley&Sons.

3.  Lima, E. L. (1970), Elementos de Topologia Geral, Ao Livro Técnico, Editora da Universidade de São Paulo.

4. Sutherland, W. A. (2009), Introduction to Metric and Topological Spaces, Oxford University Press.

 

 

 

 

 

Método de ensino

As matérias  teóricos são apresentadas e explicadas na aula teórica (3h/semana). Os diversoes temas são aplicados pelos alunos na  turma prática (3h/semana).

Método de avaliação

TIAF

Métodos de Avaliação

1º Semestre do Ano Lectivo 2017/2018

1. Requisitos

Só poderão apresentar-se a qualquer das provas escritas e consequentemente ser avaliados nesta unidade curricular, os alunos que:

i. satisfaçam o critério de Frequência, ou dele estejam dispensados;

ii. no acto da prova sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão,  Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante).

2. Frequência 

Será concedida Frequência a qualquer aluno que não falte, injustificadamente, a mais do 1/3 das aulas Teorico e Práticas leccionadas.

Estão dispensados da obtenção de Frequência todos os alunos que possuam um estatuto especial que contemple a referida dispensa (trabalhador estudante ou qualquer outro reconhecido pelas regras gerais de avaliação da FCT-UNL) ou que tenham obtido frequência no ano lectivo anterior.

3. Avaliação contínua

Ao longo do semestre serão realizados três testes. Para poder realizar qualquer prova, o aluno tem de satisfazer o critério de Frequência, ou dele estar dispensado. Nas condições anteriores, seja T1 a classificação obtida no primeiro teste, T2 a obtida no segundo e T3 a obtida no terceiro (todas em valores não arredondados). Considere-se

AC = (T1+T2+T3)/3.

Se AC≥9.5 e T3 ≥ 7.5 o aluno é aprovado  e a classificação final ACF será obtida por arredondamento de AC às unidades

 Se 10 ≤ ACF ≤ 17, o aluno fica aprovado com a classificação final ACF. Se ACF ≥ 18, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

4. Época de recurso

Podem apresentar-se a exame na época de recurso todos os alunos inscritos, e ainda não aprovados na disciplina, que estejam nas condições do ponto 2.

Este exame consiste numa prova escrita com duração de 3 horas que versa sobre a totalidade dos conteúdos da disciplina.

Ao exame será atribuída uma classificação entre 0 e 20 valores (E), estando o aluno aprovado à disciplina, se a classificação final EF, depois de arredondada às unidades, for superior ou igual a 10 valores.

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Se 10 ≤ EF ≤ 17, o aluno fica aprovado com a classificação final ACF. Se EF ≥ 18, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

 

5. Data dos Testes de 2017/18

Primeiro teste 25 de Outubro

Segundo teste 18 de Novembro

Terceiro teste 21 de Dezembro


Conteúdo

1.  Espaços métricos. Sucessões. Sucessões de Cauchy e Sucessões convergentes. Espaços métricos completos.  

2.  Espaços Topológicos. Subespaços. Topologia relativa. Separabilidade. Espaços de Hausdorff.

3.  Continuidade. Funções contínuas. Homeomorfismos. Compacidade.  Conjuntos compactos. Conjuntos conexos.

4.  Espaços lineares normados. Espaços lineares normados de dimensão finita. Compacidade e dimensão finita.  Operadores lineares limitados e operadores lineares contínuos. Espaços de Banach.

5.  Espaços lineares com produto interno. Espaços de Hilbert. Conjuntos ortonormados e sucessões.  Sucessões e conjuntos ortonormados maximais. Séries relacionadas com sucessões e conjuntos ortonormados. Complementos ortogonais e somas directas. Representações de funcionais em espaços de Hilbert  (teorema de Riesz).

6.  Algumas aplicações à teoria da aproximação. Aproximação em espaços de Hilbert.

7.  Teoremas fundamentais em espaços de Banach

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: