Introdução ao Cálculo das Variações

Objectivos

O aluno deverá conhecer os métodos clássicos do Cálculo das Variações, nomeadamente as noções de integral variacional, extremal, sistema de equações de Euler Lagrange para extremos livres e condicionados, geodésicas, Transformada de Legendre e formulação de Hamilton Jacobi. 

O aluno deverá conhecer as bases dos métodos directos em Cálculo das Variações, nomeadamente noções de Análise Funcional relevantes: Teorema de Banach Steinhaus, convergência fraca em espaços de Banach, espaços de Hilbert, o espaço de Sobolev H1 e condições de semi-continuida fraca para integrais variacionais definidos em H1. Determinação de uma base ortogonal de L2 constituída por funções próprias do operador Laplaciano.

Caracterização geral

Código

10988

Créditos

6.0

Professor responsável

José Maria Nunes de Almeida Gonçalves Gomes

Horas

Semanais - 5

Totais - 70

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

A disponibilizar brevemente

Bibliografia

A disciplina dispõe de um texto de apoio disponibilizado no CLIP «Uma introdução ào Cálculo das Variações e à Análise Funcional» da autoria de J.M. Gomes.


Os alunos também poderão consultar a seguinte bibliografia:

One-dimensional Variational Problems (An introduction). Butazzo G., Giaquinta M. and Hildebrandt S., Oxford Science Publications.

Analyse Fonctionelle, Brézis H., Masson.

Introduction to the Calculus of Variations, Bernard Dacorogna, Imperial College Press (2nd edition)

Measure Theory and Fine properties of functions, Evans L. and Gariepy R., CRC press series in advanced Mathematics.

Outros textos: 

Methods of Mathematical Physics, Volume 1, R. Courant nd D. Hilbert, Interscience publishers.

Método de ensino

A disponibilizar brevemente

Método de avaliação

A disponibilizar brevemente

Conteúdo

Introdução ao Cálculo das Variações

1. Métodos Clássicos


Exemplos e Problemas clássicos do Cálculo das Variações.

A primeira variação.

As equações de Euler-Lagrange.

Condições de fronteira naturais.

Problemas de minimização condicionada.

Problemas com condições de Neumann na fronteira.

A segunda variação (condição de Legendre).

Formulação Hamiltoniana e  equação de Hamilton-Jacobi.

Aplicações.

 

2. Métodos Directos

Tópicos de Análise Funcional: Teorema de Ascoli, Lema de Baire, Teorema de Hahn Banach, Teorema de Banach Steinhaus, Noção de Convergência fraca, Topologia fraca e convexidade, Propriedades dos Espaços de Hilbert, Espaço de sobolev W1,p.

Problemas Variacionais em W1,2. Teorema de Tonelli. Condições para existência de mínimo para um funcional definido em W1,2. Determinação de uma base ortogonal em composta por funções próprias do operador Laplaciano. 

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: