Análise Complexa

Caracterização geral

Pré-requisitos

Bons conhecimentos de análise real (uma e mais variáveis), de geometria analítica no plano e da topologia usual de R^2.

Bibliografia

SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. - Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science - 3rd Edition, Pearson Education, 2003.

L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill (1979)

M. A. Carreira e M. S. Nápoles, Variável complexa - teoria elementar e exercícios resolvidos, McGraw-Hill (1998)

S. Lang, Complex Analysis, Springer (1999), ISBN 0-387-98592-1

J. E. Marsden and M. J. Hoffman, Basic Complex Analysis - Third Edition, Freeman (1999), ISBN 0-7167-2877-X 

Método de ensino

Nas aulas, a teoria é exposta e são apresentados exemplos de aplicação e ilustração. Os resultados apresentados são demonstrados. É dada oportunidade aos alunos de trabalhar na resolução de problemas constantes de uma lista previamente disponibilizada, com o apoio do professor caso o necessitem. Os resultados relevantes ilustrados pelos exercícios são objecto de comentário do professor.

Método de avaliação

Frequência

Um aluno está dispensado de frequência se tiver estatuto especial previsto no regulamento de avaliação da FCT/UNL ou se tiver obtido frequência na UC no ano letivo anterior.

Será concedida Frequência a qualquer aluno que não falte injustificadamente a mais do que 1/3 das aulas práticas e 1/3 das aulas teóricas lecionadas.

A avaliação de conhecimentos é realizada através de Avaliação Contínua ou Exame de Recurso.

Avaliação Contínua

É proibido utilizar máquinas de calcular gráficas, ou quaisquer instrumentos de suporte de cálculo, em momentos de avaliação.

Ao longo do semestre serão realizados dois testes, cada um com duração de 1 hora e 30 minutos. Cada teste tem classificação máxima de 20 valores.

 1º Teste, 23/10, (T1): Podem apresentar-se ao 1º teste todos os alunos inscritos na disciplina.

2º Teste, 20/12, (T2): Podem apresentar-se ao 2º teste todos os alunos inscritos na disciplina que tenham obtido frequência ou tenham estatuto especial.

Se a média dos testes CT=(T1+T2)/2, arredondada às unidades, for superior, ou igual, a 10 valores, o aluno fica aprovado.

 Se CT ≤ 17, o aluno fica aprovado com a classificação final CT. Se CT≥ 18, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

Se a média dos testes CT, arredondada às unidades, for inferior a 10 valores, o aluno poderá apresentar-se a Exame de Recurso.

Exame de Recurso 

É proibido utilizar máquinas de calcular gráficas, ou quaisquer instrumentos de suporte de cálculo, em momentos de avaliação.

Podem apresentar-se a Exame de Recurso todos os alunos inscritos na disciplina que tenham obtido Frequência ou tenham estatuto especial. 

Na data e hora previstas para a realização do Exame de Recurso qualquer aluno inscrito na disciplina que tenha obtido Frequência ou tenha estatuto especial e que não tenha obtido aprovação na Avaliação Contínua pode realizar o exame de 3 horas ou pode optar por repetir um dos testes de 1 hora e 30 minutos .

Se o aluno optar por repetir um dos testes, a classificação é calculada tal como no caso da Avaliação Contínua.

Se o aluno realizar o Exame de Recurso e a classificação do exame, arredondada às unidades, for superior vou igual a 10 valores e menor ou igual a 17 valores, o aluno fica aprovado com essa classificação.  Se a classificação do exame, arredondada às unidades, for maior ou igual a 18 , o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

Melhoria de nota

É proibido utilizar máquinas de calcular gráficas, ou quaisquer instrumentos de suporte de cálculo, em momentos de avaliação.

Os alunos têm direito de efetuar melhoria de nota, mediante inscrição na divisão académica da FCT nos prazos fixados, na época de recurso. Nesse caso, poderão efetuar o Exame de 3 horas ou repetir um dos Testes de 1 hora e 30 minutos como descrito na alínea anterior. No caso em que um aluno faz melhoria tendo obtido aprovação num semestre anterior, só poderá efetuar o Exame de 3 horas.

Logística

Com o objetivo de racionalizar os recursos da FCT (instalações, pessoal docente e pessoal não docente), só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que se inscrevam para o efeito através do CLIP, no decurso do período aí estipulado.

Se na época de recurso o aluno optar por repetir um dos testes deve inscrever-se para este caso contrário realizará exame de recurso.

Só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que, no ato da prova, sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão,  Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante) e caderno de exame em branco.

Considerações finais

Em qualquer situação omissa, aplica-se o Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa.

Conteúdo

1. Funções de variável complexa: Aritmética dos números complexos (revisão). Definição das funções elementares. Limites e continuidade. Diferenciabilidade – funções analíticas. Diferenciação das funções elementares. Funções harmónicas. Aplicações conformes.

2. Integração de funções de variável complexa – teorema de Cauchy: Integração de funções de variável complexa. Teorema de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy. Teoremas fundamentais: teorema de Morera, desigualdades de Cauchy, teorema de Liouville, teorema fundamental da Álgebra, teorema do máximo do módulo.

3. Séries de potências; séries de Laurent: Convergência pontual e uniforme de sucessões e séries de funções. Séries de potências. Teorema de Taylor; analiticidade. Singularidades – séries de Laurent. Singularidades isoladas; classificação de singularidades isoladas.

4. Resíduos: Métodos de cálculo de resíduos. Teorema dos resíduos. Aplicação ao cálculo de integrais (reais e complexos).

5. Aplicação Conforme. Exemplos e Aplicações.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: