Medida, Integração e Probabilidades

Caracterização geral

Pré-requisitos

O aluno deve ter já desenvolvido algum pensamento abstrato em Análise e estar familiarizado com o integral de Riemann, séries de funções e numerabilidade de conjuntos.

Bibliografia

M. Capinski, E. Kopp, Measure, Integration and Probability. Springer- Verlag

G. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and their Applications, John Wiley & Sons, Second Edition, 1999

J. Lamperti, Probability: A survey of the Mathematical Theory, John Wiley & Sons, Second Edition, 1996

Método de ensino

As aulas teóricas, consistem na exposição da teoria, sendo os conceitos introduzidos devidamente motivados. Os resultados obtidos são na generalidade todos demonstrados. É proposta uma lista de exercícios que deve ser trabalhada em autonomia. Nas aulas práticas são discutidos os exercícios propostos bem como a teoria introduzida nas aulas teóricas.

Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento.

Método de avaliação

1. Frequência

Para obter frequência à disciplina é necessária a presença a, pelo menos, 2/3 das aulas práticas  e 2/3 das aulas teóricas lecionadas. 

Estão dispensados da obtenção de frequência os alunos que tenham um estatuto especial (trabalhador estudante, militar, etc.) 

2. Avaliação contínua

A classificação na avaliação contínua é uma nota entre 0 e 20 valores obtida por arredondamento às unidades da média aritmética das notas obtidas nos dois testes realizados no decorrer do semestre.

Para realizar qualquer dos testes previstos, os alunos têm de se inscrever no Clip até uma semana antes da data da prova. Além disso, no ato da prova, os alunos devem ser portadores de um caderno de exame (em branco) e de um documento de identificação.

3. Exame

O exame tem a duração de 3 horas. Todo o aluno ainda não aprovado na disciplina pode apresentar-se a exame, sendo a nota final obtida por arredondamento às unidades da classificação obtida no exame.

Para realizar o exame, os alunos têm de se inscrever no Clip até uma semana antes da data da prova. Além disso, no ato da prova, os alunos devem ser portadores de um caderno de exame (em branco) e de um documento de identificação.

4. Exame de melhoria de nota

Todo o aluno que pretenda obter melhoria de nota deve cumprir, para esse efeito, as formalidades legais de inscrição. Além disso, o aluno deve apresentar-se a exame, seguindo os requisitos indicados no ponto 3 acima. Se o resultado no exame for superior ao já obtido anteriormente na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.

Conteúdo

1-      Medida

 Medida exterior. Conjuntos mensuráveis à Lebesgue e medida de Lebesgue. Conjuntos de Borel. Sigma-álgebras.

 Probabilidade: Espaço de probabilidade. Acontecimentos, condicionamento e  independência.

2-      Funções mensuráveis

Funções mensuráveis à Lebesgue.

Probabilidade: Variáveis aleatórias. Sigma-álgebras geradas por variáveis aleatórias. Distribuição de probabilidade. Independência de variáveis aleatórias.

3-      Integral

Definição de integral. Teorema da convergência monótona. Funções integráveis. Teorema da convergência dominada.

Probabilidade: Integração em relação a distribuições de probabilidade. Medidas absolutamente contínuas. Esperança de uma variável aleatória. Função característica.

4-      Espaço das funções integráveis

Espaço L^1. Espaço L^2. Espaços com produto interno. Ortogonalidade e projeção. Espaço L^p. Espaços completos.

Probabilidade: Momentos. Independência. Esperança condicional como projecção ortogonal.

5-      Medidas produto

Medida de Lebesgue multidimensional. Sigma-álgebras produto. Construção da medida produto. Teorema de Fubini.

Probabilidade: Distribuição conjunta. Independência. Probabilidade condicionada.

6-      Teorema de Radon-Nykodim

Densidades e condicionamento. Medida de Lebesgue Stieltjes. Funções de variação limitada. Medidas com sinal.

Probabilidade: Esperança condicional relativa a uma sigma-álgebra.

7-      Teoremas limite

Convergência em probabilidade. Lei fraca dos grandes números. Lemas de Borel-Cantelli. Lei forte dos grandes números. Convergência fraca. Teorema do limite central.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: