Análise Matemática II D

Objectivos

No final desta unidade curricular é esperado que os estudantes :

- possuam conhecimento das noções, notações e objetivos da Análise Matemática em R^n, especialmente para n=2 e n=3;

- estejam habilitados a resolver problemas práticos utilizando derivadas e integrais de funções de várias variáveis.

- tenham conhecimento dos principais teoremas do cálculo diferencial e integral,  especialmente dos teoremas de Green, da divergência e de Stokes.

- conheçam a noção de série numérica e saibam analisar a convergência de séries de números reais não negativos e alternadas

Caracterização geral

Código

10572

Créditos

6.0

Professor responsável

Paula Cristiana Costa Garcia Silva Patrício

Horas

Semanais - 6

Totais - 56

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Os alunos deve ter os conhecimentos de análise matemática de funções reais de variável real correspondentes à conclusão da disciplina de Análise Matemática I. Devem possuir conhecimentos da Álgebra linear e geometria analítica, nomeadamente cálculo vetorial em R^2 e em R^3, equações das retas e dos planos em R^3, representação matricial de  aplicações lineares definidas em R^n com valores em R^m e cálculo matricial

Bibliografia

1- Cálculo vol. 2, Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis,8ª edição, Bookman/Artmed

2- Calculus III, Jerrold Marsden and Alen Weinstein

Método de ensino

O ensino consiste na leccionação de aulas teóricas, onde é apresentada e explicada toda a matéria referida nos conteúdos programáticos. São fornecidas fichas de exercícios aos alunos para serem trabalhadas fora das salas de aula, com o conhecimento adquirido previamente nas aulas teóricas. São leccionadas aulas práticas, onde o professor esclarece as dúvidas acerca das fichas fornecidas previamente, além disso são resolvidos no quadro os exercícios considerados mais relevantes.

Os alunos dispõem ainda do designado horário de dúvidas onde podem esclarecer as suas dúvidas com o professor

Método de avaliação

1. Requisitos

1.Só poderão apresentar-se a qualquer das provas escritas e consequentemente ser avaliados nesta unidade curricular, os alunos que:

  a) se tenham inscrito para realizar a prova através da página do Clip da unidade curricular,no período indicado préviamente, e entregando um caderno de prova em branco à entrada da sala no dia da prova;

  b) no acto da prova sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão,  Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante).

2. Não é permitido o uso de qualquer calculadora nos momentos de avaliação. Não é aconselhado o uso de calculadora gráfica nas aulas.

2 - Frequência     

É atribuída Frequência aos alunos que:

a) comparecerem a pelo menos dois terços das aulas práticas lecionadas;

e

b) entregarem (ao professor que leciona o turno prático em que  estejam inscritos)  as resoluções de todos os exercícios propostos para obtenção de frequência, dentro do prazo determinado.

As listas de exercícios propostos para obtenção de frequência, assim como as datas de entrega das resoluções, serão publicadas no clip durante o semestre.

Os alunos com estatuto de trabalhador estudante  e os alunos com frequência obtida no semestre anterior estão dispensados de frequência neste semestre.


3 - Avaliação de conhecimentos                                                                                                                

Só os alunos que tenham frequência ou  estejam dispensados de frequência  é que podem obter aprovação na  disciplina.

A avaliação de conhecimentos é realizada através de Avaliação Contínua ou Exame Final. 

3.1 Avaliação continua

A avaliação contínua é realizada através de três testes intercalares T1,T2,  e T3. Cada teste tem duração de 1h.

 Cada teste  tem classificação de 20 valores.

 3.1.1  -- 1º Teste (T1) e  2º Teste (T2)

Podem-se apresentar ao 1º teste e ao 2º teste todos os alunos inscritos na disciplina que tenham entregado todos os exercícios propostos para obtenção de frequência (no prazo determinado) ou estejam dispensados de Frequência.

3.1.2 -- 3º Teste (T3)

Podem-se apresentar ao 3º teste todos os alunos inscritos na disciplina que tenham frequência ou estejam dispensados de Frequência. O aluno deverá obter uma classificação não inferior a 7.0 valores no 3º Teste.

Se a classificação do 3º teste (T3) for inferior a 7.0 valores ou a média dos testes CT, arredondada às unidades, for inferior a 10 valores, o aluno poderá apresentar-se a Exame de Recurso. 

Se a classificação do 3º teste (T3) for superior ou igual a 7.0 valores e a média dos testes CT=(T1+T2+T3)/3, for superior, ou igual, a 9,5 e inferior, ou igual, a 17,4, o aluno fica aprovado com essa classificação arredondada às unidades. Se a classificação do 3º teste (T3) for superior ou igual a 7.0 valores e a CT  for superior, ou igual, a 17,5 o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota. 

3.2 - Exame Final

Podem apresentar-se a Exame Final todos os alunos inscritos na disciplina que tenham obtido Frequência ou estejam dispensados de Frequência. Se a classificação do exame for superior, ou igual, a 9,5 e inferior, ou igual, a 17,4, o aluno fica aprovado com essa classificação  arredondada às unidades.

Se a classificação do exame for superior, ou igual, a 17,5 o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota. Se a classificação obtida no exame for inferior, ou igual, a 9,4 o aluno reprova.

Os alunos aprovados que queiram fazer melhoria têm de se inscrever nos serviços académicos.

Conteúdo

1-      Revisão de alguns conceitos de Geometria Analítica

1.1   Cónicas.

1.2   Quádricas.

2-      Limites e continuidade em R^n

2.1   Noções topológicas em R^n.

2.2   Funções vetoriais e funções de várias variáveis reais: domínio, gráfico, curvas e superfícies de nível .

2.3   Limite e continuidade de funções de várias variáveis reais

3-      Cálculo diferencial em R^n

3.1   Derivadas parciais e teorema de Schwarz.

3.2   Derivada segundo um vetor. Matriz Jacobiana, vetor gradiente e noção de diferenciabilidade.

3.3   Diferenciabilidade da função composta. Teorema de Taylor. Teorema da função implícita e teorema da função inversa.

3.4   Extremos relativos. Extremos condicionados e multiplicadores de Lagrange.

4-      Cálculo integral em R^n

4.1   Integrais duplos. Integrais iterados e teorema de Fubini. Mudança de variável em integrais duplos. Integrais duplos em coordenadas polares. Aplicações.

4.2    Integrais triplos. Integrais iterados e teorema de Fubini. Mudança de variável em integrais triplos. Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas. Aplicações.

5-      Análise vetorial

5.1   Campos vetoriais: gradiente, divergência e rotacional. Campos fechados. Campos conservativos. Aplicações.

5.2   Formalismo das formas diferenciais. Integrais de linha de campos escalares e de campos vetoriais. Teorema fundamental para integrais de linha. Teorema de Green. Aplicações.

5.3   Integrais de superfície de campos escalares. Fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Teorema de Stokes e Teorema de Gauss-Ostrogradsky. Aplicações.

6-      Séries numéricas

6.1   Convergência de séries numéricas. Condição necessária de convergência. Séries telescópicas. Séries geométricas.

6.2   Séries de termos não negativos. Séries de Dirichlet. Critérios de comparação. Critério da razão. Critério de D’Alembert. Critério da raiz. Critério de Cauchy.

6.3   Convergência simples e absoluta. Séries alternadas e critério de Leibnitz.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: