Análise Matemática III D

Objectivos

  • Domínio dos aspectos básicos da teoria das funções de variável complexa.
     
  • Estudo das equações diferenciais ordinárias. Pretende-se que o aluno se familiarize com as várias técnicas de resolução de equações diferenciais lineares e não lineares, sendo dedicada especial atenção às equações  diferenciais lineares de ordem superior à primeira.
     
  • Os alunos devem saber utilizar as transformadas de Laplace para resolver equações diferenciais e integrais.
     
  • O aluno deve aprender o essencial sobre séries de Fourier e a sua aplicação à resolução de equações diferenciais com derivadas parciais.

Caracterização geral

Código

7544

Créditos

6.0

Professor responsável

Luís Manuel Trabucho de Campos

Horas

Semanais - 6

Totais - 40

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Conhecimentos de Análise Matemática adquiridos nas discipolinas de Análise Matemática I e II.

Bibliografia

M. A. Carreira e M. S. Nápoles, Variável complexa - teoria elementar e exercícios resolvidos, McGraw-Hill (1998)

M. Braun. Differential Equations and their applications (4th edition). Springer-Verlag, 1993.


 E. Kreyszig. Advanced engineering mathematics (8th edition). John Wiley & Sons, 1999.

S. Lang, Complex Analysis, Springer (1999), ISBN 0-387-98592-1

J. E. Marsden and M. J. Hoffman, Basic Complex Analysis - Third Edition, Freeman (1999), ISBN 0-7167-2877-X 

Zill, D. G. ; Cullen, M.R. - Differential equations with boundary value problems; 6th edition.

Método de ensino

Aulas teóricas e aulas práticas. 

Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor.

Método de avaliação

Método de Avaliação – Análise Matemática III-D

Em conformidade com o Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa,  a disciplina de Análise Matemática III-D  tem o seguinte método de avaliação:

Frequência

Será atribuída frequência aos alunos que tenham assistido a pelo menos dois terços do número total de aulas práticas. Estão dispensados de Frequência os alunos que possuam um estatuto que dela os isente.

Avaliação

A avaliação da disciplina é efetuada através da realização de dois testes escritos (avaliação teórica e prática) durante o semestre, cada um com duração de duas horas. A cada teste escrito será atribuída uma classificação (t1, e t2) na escala de 0 a 20 arredondada às décimas.

 A classificação final da Avaliação "C" é calculada arredondando às unidades,  pelas convenções usuais, a expressão

C = (t1+t2)/2

O aluno é aprovado se tiver obtido frequência de acordo com as regras acima explicitadas se C ≥ 10.

 Exame 

Os alunos reprovados por avaliação durante o semestre e a quem tenha sido atribuída frequência, ou dela tenham sido dispensados, poderão apresentar-se a exame.

O exame consiste numa prova escrita, de duração de 3 horas, sobre a totalidade dos conteúdos da disciplina.

Ao exame será atribuída uma classificação inteira entre 0 e 20 valores, estando o aluno aprovado à disciplina, com essa classificação, se esta for superior ou igual a 10 valores.

É interdita a utilização de máquinas de calcular ou quaisquer outros instrumentos de suporte de cálculo ou de consulta em todos os momentos de avaliação.

Melhoria de Classificação

Os alunos aprovados por avaliação durante o semestre poderão requerer, mediante o cumprimento de todas as disposições impostas pela FCT-UNL, melhoria de classificação. Nesse caso, poderão efetuar o exame. A classificação final será o máximo entre as classificações obtidas durante o semestre e no exame.

Condições para a realização das provas escritas (testes e exame)

Poderão apresentar-se a cada um dos testes e ao Exame os alunos regularmente inscritos no sistema Clip.  A inscrição deverá ser feita até pelo menos uma semana antes da realização da prova (teste ou exame). No dia da prova cada aluno deverá possuir um caderno de exame em branco que será entregue no início da prova ao docente que estiver a efectuar a vigilância. Durante a prova o aluno deverá ser portador de documento de identificação oficial com fotografia recente.

Em tudo o que presente Regulamento seja omisso valem os Regulamentos Gerais da FCT-UNL.

Conteúdo

1. Geometria do Plano Complexo

 1.1 Introdução: Generalidades sobre o corpo dos números complexos; conjugado,módulo e argumento; forma polar de um número complexo. raizes enésimas de números complexos. Fórmulas de De Moivre e aplicações à linearização de polinómios trigonométricos.

1.2 Isometrias e Homotetias: Classificação das isometrias do plano (translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes) e estudo das respetivas representações por funções de variável complexa. Homotetias e transformações do plano complexo da forma f(z)=wz+z0 e f(z)=wz+z0; inversões da forma f(z)=1/z.

1.3 Funções elementares: Funções polinomiais de variável complexa. Função exponencial, funções trigonométricas circulares e hiperbólicas, ramo principal do logaritmo e funções trigonométricas inversas.

1.4 Transformações conformes: Funções holomorfas, condições de Cauchy-Riemann e sua interpretação geométrica. A noção de transformação conforme. Transformação de regiões elementares (delimitadas por segmentos de reta e/ou por curvas cónicas) por transformações conformes elementares (z2, z3, ez, sin z, sinh z, 1/z, etc). 

 

 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO)

 2.1 Equações diferenciais de primeira ordem: Campo de direções associado a uma EDO de primeira ordem; curvas integrais e soluções. Alguns resultados de existência e de unicidade de soluções: os teoremas de Picard e de Peano. Noção de solução implícita de uma equação diferencial. Equações autónomas e soluções de equilíbrio.  Equações lineares, equações de variáveis separáveis e equações de Bernoulli. Equações diferenciais exatas e noção de fator integrante. 

2.2 Equações diferenciais de segunda ordem. Equações homogéneas: polinómio característico e base do espaço vetorial solução. Generalização a equações diferenciais lineares homogéneas de ordem superior ou igual a três. O Wronskiano e independência linear de soluções. Estrutura afim do conjunto de soluções de uma EDO linear de segunda ordem. O método de d'''''''' Alembert. Método da variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados. Noção de ressonância.

2.3 Sistemas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes: Generalidades e estrutura das soluções. Base do espaço vetorial solução; relação entre o espectro do sistema linear associado e a estabilidade das soluções.

 

  3. Equações com derivadas parciais (EDP) 

3. 1 Representação em séries de Fourier de funções periódicas.  Generalidades sobre funções periódicas . Modos sin(2πt/n) e cos(2πt/n); série de Fourier associada a uma função periódica suficientemente regular (formalismo real e complexo);Estudo da convergência de uma série de Fourier; pontos de descontinuidade e fenómeno de Gibbs. Representação dee uma função regular em séries de senos/cossenos num dado intervalo.

3.2 Aplicações das séries de Fourier às EDP: Generalidades sobre EDP. O método de separação de variáveis. Aplicações ao caso parabólico (equação do calor), hiperbólico (equação das ondas) e elíptico (equação de Laplace).

3.3 A equação de Navier-Stokes. Noção de lei de conservação; noção de derivada material. A equação de Euler para líquidos incompressíveis; conservação da massa, do momento e da energia. Caso da equação de Navier-Stokes: estudo de soluções exactas em diferentes contextos unidimensionais.

 

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: