Análise Matemática II B

Objectivos

No final desta unidade curricular o estudante terá adquirido conhecimentos, aptidões e competências que lhe permitam:

- Trabalhar com noções elementares de topologia em Rn,  (vizinhança, aberto, fechado, etc.);

- Compreender a noção rigorosa de limite, continuidade e diferenciabilidade de funções vectoriais de variável real.

-  Aplicar as funções vectoriais de variável real nas parametrizações das curvas e no estudo das respectivas propriedades.

- Compreender a noção rigorosa de limite e continuidade de funções reais e vectoriais de várias variáveis e calcular limites.

- Conhecer a noção de derivada parcial, diferenciabilidade,  os teoremas da função implícita e da função inversa.

- Conhecer o desenvolvimento de Taylor  e aplicações ao estudo de funções e cálculo de extremos.

- Conhecer a noção de  integral duplo e triplo e saber calcular estes integrais usando as coordenadas mais adequadas.

- Conhecer algumas aplicações dos integrais duplo e triplo.

- Conhecer a noção de integral de linha, suas aplicações e respectivos resultados fundamentais.

- Conhecer a noção de integral de superfície, aplicação ao cálculo do fluxo e respectivos resultados.

Caracterização geral

Código

10476

Créditos

6.0

Professor responsável

Marta Cristina Vieira Faias Mateus

Horas

Semanais - 5

Totais - 70

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Cálculo diferencial e integral em R. Rudimentos de cálculo matricial.

Bibliografia

H. Anton, I. Bivens, S. Davis, Cálculo, volume 2, 8ª edição, Bookman, Porto Alegre, 2007.

G. E. Pires, Cálculo diferencial e integral em Rn, IST Press, Lisboa, 2012.

Método de ensino

As aulas teóricas consistem em exposição da matéria, que é ilustrada com exemplos de aplicação.

As aulas práticas consistem na resolução de exercícios de aplicação dos métodos e resultados apresentados nas aulas teóricas. Estes exercícios são escolhidos numa lista fornecida pelos docentes.

Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor. 

Método de avaliação

1. Frequência

Um aluno está dispensado de frequência se tiver estatuto especial previsto no regulamento de avaliação da FCT/UNL ou se tiver obtido frequência na UC num dos dois semestres imediatamente anteriores ao presente.

Será concedida Frequência a qualquer aluno que não falte injustificadamente a mais do que três das aulas práticas lecionadas, correspondentes ao turno em que se encontra inscrito.

A avaliação de conhecimentos é realizada através de Avaliação Contínua ou Exame de Recurso.

2. Avaliação Contínua

Ao longo do semestre serão realizados três testes, cada um com duração de 1 hora e 15 minutos. Cada teste  tem classificação de 20 valores.

 1º Teste, 16/10, (T1): Podem apresentar-se ao 1º teste todos os alunos inscritos na disciplina.

2º Teste, 13/11, (T2): Podem apresentar-se ao 2º teste todos os alunos inscritos na disciplina.

3º Teste, 16/12, (T3): Podem apresentar-se ao 3º teste todos os alunos inscritos na disciplina que tenham obtido frequência ou tenham estatuto especial. O aluno deverá obter uma classificação não inferior a 7.0 valores no 3º Teste.

Se a classificação do 3º teste (T3) for não inferior a 7.0 valores e a média dos testes CT=(T1+T2+T3)/3, arredondada às unidades, for superior, ou igual, a 10 valores e  inferior ou igual a 16 valores, o aluno fica aprovado com a classificação CT, arredondada às unidades. Se a classificação do 3º teste (T3) for inferior a 7.0 valores ou a média dos testes CT, arredondada às unidades, for inferior a 10 valores, o aluno poderá apresentar-se a Exame de Recurso.

3. Exame de Recurso 

Podem apresentar-se a Exame de Recurso todos os alunos inscritos na disciplina que tenham  obtido Frequência.

 Na data e hora previstas para a realização do Exame de Recurso qualquer aluno  inscrito na disciplina que tenha obtido Frequência (ou esteja dispensado de  Frequência)  pode realizar o exame ou pode optar por repetir um dos testes.

Se o aluno optar por repetir um dos testes a classificação é calculada tal como no caso da Avaliação Contínua.

Se o aluno realizar o Exame de Recurso e a classificação do exame, arredondada às unidades, for superior ou igual a 10 valores e inferior ou igual a 16 valores, o aluno fica aprovado com essa classificação.

 

4. Melhoria de nota

Os alunos têm direito de efetuar melhoria de nota, mediante inscrição na divisão académica da FCT nos prazos fixados, na época de recurso. Nesse caso, poderão efetuar o Exame de 3 horas ou repetir um dos Testes de 1 hora e 15 minutos como descrito na alínea anterior.

 

5. Defesa de nota

Quando a classificação da avaliação contínua ou da prova de recurso, arredondada às unidades, for superior ou igual a 17  valores, o aluno terá que realizar uma prova suplementar de defesa de nota.

 

6. Logística

Com o objetivo de racionalizar os recursos da FCT (instalações, pessoal docente e pessoal não docente), só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que se inscrevam para o efeito através do CLIP, no decurso do período aí estipulado. Só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que, no acto da prova, sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão,  Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante) e caderno de exame em branco.

7. Material admitido para as provas de avaliação

Só é permitida a utilização de caneta (azul ou preta) para a realização das provas de avaliação.

Durante as provas de avaliação não é permitida:

 a) a utilização de qualquer tipo de material de consulta em formato papel (por exemplo livros, apontamentos, formulários).

 b) a utilização de aparelhos electrónicos de cálculo ( ex. calculadoras, computadores, tablets).

c) a utilização  de aparelhos que permitam o visionamento de qualquer  tipo de  ficheiros electrónicos.

d) a utilização de aparelhos que permitam a troca de mensagens.

Conteúdo

1. Revisão de alguns conceitos de Geometria Analítica

  1.1.Cónicas.

  1.2.Quádricas.

 

2.Limites e Continuidade em Rn

  2.1.Noções Topológicas em Rn.

  2.2.Funções Vetoriais e Funções de Várias Variáveis Reais: Domínio, Gráfico, Curvas e Superfícies de Nível.

  2.3.Limite e Continuidade de Funções de Várias Variáveis Reais.

 

3. Cálculo Diferencial em Rn

3.1.Derivadas Parciais e Teorema de Schwarz.

3.2.Derivada segundo um vetor. Matriz Jacobiana. Vetor Gradiente e noção de Diferenciabilidade.

3.3.Diferenciabilidade da Função Composta. Teorema de Taylor. Teorema de Função Implícita e Teorema da Função Inversa.

3.4.Extremos Relativos. Extremos Condicionados e Multiplicadores de Lagrange.

 

4. Cálculo Integral em Rn

  4.1.Integrais Duplos. Integrais Iterados e Teorema de Fubini. Mudança de variável em Integrais Duplos. Integrais Duplos cm Coordenadas Polares. Aplicações.

  4.2.Integrais Triplos. Integrais Iterados e Teorema de Fubini. Mudança de variável em Integrais Triplos. Integrais Triplos em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas. Aplicações.

 

5. Análise Vetorial

  5.1.Campos Vetoriais: Gradiente, Divergência e Rotacional. Campos Fechados. Campos Conservativos. Aplicações.

  5.2.Formalismo das Formas Diferenciais. Integrais de Linha de Campos Escalares e de Campos Vetoriais. Teorema Fundamental para Integrais de Linha. Teorema de Green. Aplicações.

  5.3.Integrais de Superfície de Campos Escalares. Fluxo de um Campo Vetorial através de uma Superfície. Teorema de Stokes e Teorema de Gauss-Ostrogradsky. Aplicações.