Cálculo Numérico

Objectivos

O objectivo é de apresentar e de ilustrar vários métodos numéricos para a resolução prática de algumas classes de problemas matemáticos: equações não lineares, aproximação de funções, integração, sistemas de equações e equações diferenciais ordinárias.

Caracterização geral

Código

10541

Créditos

6.0

Professor responsável

Elsa Estevão Fachadas Nunes Moreira

Horas

Semanais - 4

Totais - 56

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Conhecimentos básicos em análise matemática e álgebra linear.

Bibliografia

  • Atkinson K., An Introduction to Numerical Analysis,
    Wiley, Second Edition, 1989.

  • Burden R. e Faires J. , Numerical Analysis, Brooks-Cole Publishing Company, 9th Edition, 2011.

  • Pina H., Métodos Numéricos, Mc Graw Hill, 1995

  • Santos, F. Correia dos; Duarte, Jorge; Lopes, Nuno D.,
    Fundamentos de Análise Numérica (Com Python 3 e R), Edições Sílabo, 2019 (2ª edição).
  • Owen Jones, Robert Maillardet, Andrew Robinson, Introduction to scientific programming and simulation using R, 2nd edition, CRC Press, 2014
  • Michael J. Crawley. The R book, 2nd edition, Wiley, 2012

Método de ensino

A disponibilizar brevemente

Método de avaliação

1. Frequência

É atribuída FREQUÊNCIA:

  • aos alunos que tenham comparecido a pelo menos 2/3 das aulas (teoricas+práticas) lecionadas durante o semestre.
  • aos alunos com estatuto de trabalhador/estudante ou qualquer outro reconhecido pelas regras de avaliação da Faculdade.
  • aos alunos que no ano anterior tenham obtido frequência. 

2. Avaliação

Observações:

  • Todas as provas são classificadas de 0 a 20 valores.
  • O aluno obtém aprovação à cadeira se a nota final, NF, for maior ou igual a 9.5 valores.
  • O aluno que obtiver uma nota final igual ou superior a 17 valores poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota. Se o aluno não realizar esta prova ficará com a nota final de 17 valores.
  • No acto da prova escrita o aluno terá que ser portador do seu Bilhete de Identidade/Cartão de Cidadão e/ou do seu cartão de Estudante.
  • Nas parcelas de cada uma das fórmula abaixo será considerado arredondamento às centésimas.
  • A avaliação da cadeira de Cálculo Numérico consiste na realização de dois testes, com a duração de 2 horas cada um deles, ou através de Exame, com a duração de 3 horas.
  • Adicionalmente às provas referidas anteriormente, todos os alunos devem realizar um trabalho computacional (realizado em grupo) durante o semestre, cuja nota terá um peso na nota final.
  • Em cada uma das provas os alunos podem utlizar uma calculadora científica. 

2.1 Avaliação contínua

A avaliação durante o semestre consiste na realização de dois testes e um trabalho computacional.

Podem apresentar-se a qualquer um dos testes todos os alunos inscritos na disciplina que tenham FREQUÊNCIA.

  1. Se o aluno desistir ou não comparecer num dos testes a classificação nesse teste será de 0 valores.
  2. O aluno obtém a classificação NF=0.45×NT1+0.45×NT2+0.10×NTC, onde NT1, NT2 designam as classificações obtidas nos testes 1 e 2, respectivamente, e NTC a classificação do trabalho computacional.
  3. Se NF≤9.4 valores o aluno reprova.
  4. Se NF≥17 valores o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.
  5. Se 9.5≤NF≤17 o aluno obtem como classificação final NF arredonda às unidades.

2.2 Época de Recurso

Pode apresentar-se a exame de recurso todo o aluno ainda não aprovado na disciplina que tenha FREQUÊNCIA

  1. Se a classificação no exame, NE, for inferior a 9.4 valores o aluno reprova.
  2. Se a classificação no exame for igual ou superior a 9.5 valores a nota final do aluno é NF=max{NE, 0.90×NE+0.10×NTC}.
  3. A classificação final será obtida de modo idêntico à da Avaliação contínua.

2.3 Melhoria de nota

Todo o aluno que pretenda efectuar melhoria de nota deve inscrever-se, para esse efeito, na Repartição Académica. A classificação de exame de melhoria de nota é efectuada de modo análogo ao da Época de Recurso, caso o aluno faça a melhoria no ano em que elaborou o Trabalho Computacional. Caso contrário a classificação resume-se à classificação obtida no Exame de Recurso.

 Se o resultado for superior ao já obtido na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota

Conteúdo

1.Introdução

1.1 Erros, casas decimais signicativas e algarismos signicativos.

1.2 Condicionamento de um problema e estabilidade de um método.

1.3 Introdução a um programa computacional para a Análise Numérica.

2. Interpolação e Aproximação  Polinomial

2.1 Interpolação e polinómios de Lagrange.

2.2 Diferenças divididas, polinómio interpolador de Newton.

2.3 Interpolação por splines cúbicos.

2.4 Aproximação pelo Método dos Mínimos Quadrados.

3. Integração Numérica

3.1 Fórmulas de integração numérica de Newton-Cotes simples e compostas.

3.2 Método de integração de Gauss.

4. Resolução de equações não lineares

4.1 Método da bissecção.

4.2 Método do ponto fixo. Método de Newton. Método da secante.

5. Resolução de sistemas de equações lineares

5.1 Normas vectoriais e normas matriciais. Condicionamento de um sistema.

5.2 Valores próprios e vectores próprios. Localização de valores próprios (Teorema de

Gershgorin).

5.3 Métodos iterativos : caso geral.

5.4 Métodos de Jacobi, de Gauss-Seidel e de Relaxação.

6. Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias

6.1 Métodos de Euler.

6.2 Métodos de Taylor.

6.3 Métodos de Runge-Kutta.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: