Métodos Numéricos em Finanças

Objetivos

O objectivo desta UC é o de introduzir métodos e técnicas numéricas para modelos estocásticos e para modelos deterministicos relacionados com o apreçamento de opções Europeias e Americanas. 

Caracterização geral

Código

11582

Créditos

6.0

Professor responsável

Nuno Filipe Marcelino Martins

Horas

Semanais - 4

Totais - 68

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Conhecimentos de análise numérica e de processos estocástcos. Conhecimento de  uma linguagem de programação.

Bibliografia

1. Y. Achdou, O. Pironneau, Computational Methods for Option Pricing,  SIAM, Frontiers in Applied Mathematics, 2005.
 
2. P. Glasserman,  Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Applications of Mathematics, Stochastic Modelling and Applied Probability, 53, Springer, 2003.
 
3. D. J. Higham, An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations, SIAM REVIEW, 43 (3), 525-546, 2001.
 
4. H. Niederreiter,  Random Number Generation and Quasi-Monte Carlo Methods, SIAM, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, 63, 1992.
 
5. C.P. Robert, G. Casella,  Introducing Monte Carlo Methods with R, Springer,  2010.
 
6. P. Wilmott, J. Dewynne, S. Howison, Option Pricing – Mathematical models and computation,  Oxford Financial Press, 1995.

Método de ensino

As aulas funcionam em regime teórico prático num laboratório de computação. 

Numa primeira parte de aula é exposta a matéria. Em seguida, são implementados e testados computacionalmente os algoritmos estudados na primeira parte da aula.

Método de avaliação

Frequência

Para obter frequência, os alunos não poderão dar mais que  1/3 (do número total de aulas) de faltas injustificadas. 

 

Avaliação contínua

A avaliação contínua é constituida por três trabalhos.

Dois trabalhos individuais com um peso de 25 % cada e um trabalho final de grupo com um peso de 50 %.

Não há classificação mínima em nenhum dos três trabalhos.

Conteúdo

1. Simulação de variáveis aleatórias contínuas e discretas

    Método da transformação inversa. Método de aceitação rejeição. Simulação de variáveis aleatórias com distribuição normal. Método de Box-Muller e variante de Marsaglia. Simulação de variáveis aleatórias com distribuição normal multivariada.

2. Métodos para integração numérica.

Regra de quadratura do rectângulo (simples e composta). Análise do erro. Métodos de Monte Carlo para integração numérica. Análise do erro. Técnicas de redução da variância para o método de Monte Carlo. Técnica das variáveis antitéticas, da  amostragem por importância, das variáveis de controlo e da amostragem estratificada.

Métodos QuasiMonte Carlo. Discrepância. Desigualdade de Koksma-Hlawka. Sequências de baixa discrepância. sequências de Van der Corput. Sequências de Halton.   

3) Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias e estocásticas.

 Revisão de alguns métodos de resolução numérica de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Método de Euler explícito e implícito. Métodos de Taylor. Métodos de Runge-Kutta. Convergência e estabilidade.

Simulação de trajectórias de movimentos Brownianos unidimensionais: Método do passeio aleatório. Método das pontes Brownianas.  Métodos do tipo Fourier. Transformada rápida de Fourier. Simulação de trajectórias de Brownianos multidimensionais. Aproximação numérica do integral de Itô. Método de Euler-Maruyama para equações estocásticas.  Convergência forte e convergência fraca. Método de Euler-Maruyama fraco. Método de Milstein. Estabilidade. Métodos de Runge-Kutta para equações estocásticas.

4) Método das diferenças finitas para equações com derivadas parciais do tipo parabólico.

 Método das diferenças finitas para a equação do calor com condições de fronteira do tipo Dirichlet e para problemas de Cauchy.  Métodos das diferenças progressivas, regressivas e de Crank-Nicolson. Esquemas theta. Convergência e estabilidade. Método das diferenças finitas para problemas de obstáculo em dimensão um. Métodos SOR com projecção. Aplicações a modelos em Matemática Financeira: o caso das opções Europeias e Americanas.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: