Teoria das Distribuições
Objetivos
No final desta unidade curricular, o estudante terá adquirido conhecimentos, aptidões e competências que lhe permitam:
-Conhecer e utilizar fluentemente as propriedades, resultados e procedimentos elementares da teoria das
distribuições;com vista à sua aplicação a equações diferenciais.
-Compreender a topologia dos espaços de distribuições e aplicá-la aos diferentes conceitos de convergência de uma
sucessão de funções.
-Diferenciar distribuições e estabelecer a relação entre este tipo de diferenciação e a diferenciação no sentido clássico.
-Conhecer a noção de operador diferencial e de solução fundamental.
-Aplicar a transformada de Fourier a distribuições temperadas e conhecer as suas principais propriedades;
Caracterização geral
Código
10850
Créditos
6.0
Professor responsável
José Maria Nunes de Almeida Gonçalves Gomes
Horas
Semanais - 4
Totais - 56
Idioma de ensino
Português
Pré-requisitos
Conhecimentos sólidos de cálculo diferencial e integral em Rn. Noções básicas de topologia e Análise Funcional. Conhecimento do Integral de Lebesgue e de resultados fundamentais de Teoria de Medida.
Bibliografia
1.F. Friedlander and M. Joshi, Introduction to the Theory of distributions;
2.A. Kolmogorov and V. Fomin, Introductory real analysis;
3.W. Rudin, Functional Analysis;
4.R. Strichartz, A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms;
e ainda:
5.L. Evans and M. Gariepy; Measure Theory and Fine Properties of Functions;
5.L. Schwartz, Théorie des Distributions;
6.L. Schwartz, Méthodes Mathématiques pour les Sciences Physiques.
7.Yosida, Functional Analysis.
Método de ensino
Aulas teórico práticas complementadas com horário de discussão de problemas.
Método de avaliação
Avaliação por exame final.
Conteúdo
1. Pequeno Apontamento Histórico.
Diferenciação de funções não regulares.
2. Preliminares.
Espaços de Fréchet; Espaços Ck e C^{\infty}; Limites indutivos topológicos e o espaço das funções teste.
3. Espaço das distribuições.
Formas lineares contínuas; Funções localmente integráveis.
4. Convergência de sucessões de distribuições;Topologia fraca e fraca *; Caracterizaçãoda convergência de distribuições e
propriedades fundamentais.
5. Diferenciação no espaço das distribuições.
Operadores diferenciais: noção de solução fundamental; convolução de Distribuições;Produto de convolução; Propriedades
gerais do produto de convolução de distribuições.
6. O espaço das distribuições temperadas.
Funções regulares de decrescência rápida e passagem ao dual; Os espaços Lp enquanto distribuições temperadas;
Transformada de Fourier de uma distribuição temperada e propriedades.
7. Aplicação: Espaços de Sobolev.