Topologia Geral
Objectivos
O objectivo desta unidade curricular é dotar os alunos de conhecimentos de Topologia Geral, ilustrados com numerosos exemplos explícitos, servindo também como uma introdução à Topologia Algébrica e à Teoria da Homotopia.
Os alunos deverão entender e saber demonstrar os resultados fundamentais sobre espaços topológicos, funções contínuas, compacidade, conexidade e axiomas de separação/ numerabilidade. Na área de Topologia Algébrica, os alunos farão uma aprendizagem do conceito de grupo fundamental de um espaço topológico, e do seu cálculo em casos simples, resultando do Teorema de van Kampen ou da passagem a espaços de revestimento, bem como da aplicação do grupo fundamental aos teoremas de separação no plano. Havendo tempo, é também um objectivo da unidade curricular abordar os teoremas de classificação das superfícies compactas e dos espaços de revestimento.
Caracterização geral
Código
11585
Créditos
6.0
Professor responsável
João Pedro Bizarro Cabral
Horas
Semanais - 4
Totais - 52
Idioma de ensino
Português
Pré-requisitos
Análise em Rn. Noções gerais de Algebra Linear.
Noções gerais sobre espaços métricos.
Noções gerais de Álgebra Geral: relações de equivalência, grupos, anéis, homomorfismos e isomorfismos.
Bibliografia
James R. Munkres: Topology. Prentice Hall (2000)
Armstrong, Mark Anthony: Basic topology. Corrected reprint of the 1979 original. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983.
Gamelin, Theodore W.; Greene, Robert Everist: Introduction to topology. Second edition. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 1999.
Hatcher, Allen: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge,2002.
Teresa Monteiro Fernandes. Topologia algébrica e Teoria Elementar dos Feixes. Textos em Matemática, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
Método de ensino
A unidade curricular funcionará com 3 horas semanais de aulas teorico-práticas e 1 hora de apoio/dúvidas em sala de aula. A aprendizagem autónoma dos alunos centrar-se-á na resolução de séries avançadas de exercícios, alguns contendo provas de resultados fundamentais.
Método de avaliação
Frequência:
É atríbuida frequência aos alunos que entreguem a resolução de todas as listas de exercícios designadas em cada sessão, excepto possivelmente uma. Estao dispensados de frequência os alunos que tenham um estatuto especial previsto na lei.
Avaliação Contínua:
Regularmente será designado uma lista de exercicíos aos alunos, que pode incluir teoremas a leccionar na teórica, cuja resolução devem entregar na sessão seguinte e possivelmente efectuar uma exposição oral desta. A cada lista de exercícios será atribuida uma nota, LTi, entre 0 e 20 valores. Uma lista de exercícios não entregue corresponde a um zero. Para os alunos que obteram frequência ou que estão dispensados desta, a nota final será a média aritmética das notas LTi.
Época de recurso :
Podem apresentar-se à época de recurso todos os alunos regularmente inscritos que tenham frequência ou estejam dispensados de frequência e que não tenham obtido aprovação na avaliação contínua. Esta é composta por um exame de três horas.
Os alunos que tenham obtido aprovação na cadeira podem efectuar melhoria de nota, mediante inscrição na divisão académica da FCT nos prazos fixados, na época de recurso.
Conteúdo
1)Espaços topológicos. Base e sub-base. Funções contínuas. Homeomorfismos. Propriedades topológicas.
2)Conexidade. Conexidade por arcos. Componentes.
3)Compacidade. Lema da sub-base. Produtos de espaços topológicos. Teorema de Tychonoff. Compacidade em espaços métricos. Números de Lebesgue. Compacidade local.
4)Axiomas de numerabilidade. Axiomas de separação. Lema de Urysohn. Teorema da extensão de Tietze.
5)Topologia quociente.
6)Homotopia entre curvas. Grupo fundamental. Independência do ponto base. Grupo fundamental da esfera. Categorias e functores. Equivalência de homotopia. Functorialidade do grupo fundamental. Coberturas. Levantamento de curvas e de homotopias. O grupo fundamental da circunferência e do plano projectivo. Teorema do ponto fixo de Brouwer. Aplicações.
Tópicos adicionais: Espaços de funções. Espaços de Baire. Classificação de superfícies. Classificação de coberturas.