Análise Matricial

Objectivos

Pretende-se que o aluno adquira conhecimentos que não são, em geral, objecto de estudo de um curso de 1º ciclo de Álgebra Linear, com ênfase à abordagem de um ponto de vista matricial, e que têm importância não só na sua formação nesta área como também pelas suas aplicações noutras áreas (nomeadamente em Estatística, Computação, Análise Numérica e Optimização).

 

Caracterização geral

Código

8530

Créditos

6.0

Professor responsável

Carlos Manuel Saiago, Isabel Maria da Silva Cabral

Horas

Semanais - 4

Totais - 56

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Conhecimentos correspondentes ao conteúdo de um primeiro curso de Álgebra Linear.

Bibliografia

1.  R. A. Horn, C. R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985.
2.  C. D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2000.
3.  F. Zhang, Matrix Theory - Basic Results and Techniques, Springer, 1999.

Método de ensino

Aulas teórico-práticas em que é efectuada a exposição da matéria, com demonstração de resultados, e são propostos exercícios para resolução. 

Método de avaliação

REGRAS DE AVALIAÇÃO
A
NÁLISE MATRICIAL
2019/20

 

1. AVALIAÇÃO CONTÍNUA

A avaliação contínua consiste na realização, durante o semestre, de 2 testes sendo cada um deles cotado de 0 a 20 valores.
Podem apresentar-se a qualquer teste todos os alunos que à data do mesmo tenham presença em pelo menos 2/3 das aulas lecionadas até à data do teste.

Sejam T1 e T2  as classificações obtidas no 1º e 2º testes, respectivamente. Um aluno só poderá ficar aprovado na disciplina por avaliação contínua se

 0,5×T1 + 0,5×T2 ≥ 9,5 .

Neste caso a classificação final será dada por esta média arredondada às unidades, excepto se esta média for superior ou igual a 17,5, caso em que o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

2. EXAME

Podem apresentar-se a exame todos os alunos inscritos na Unidade Curricular, excepto os alunos que não tenham obtido frequência. 

Se a classificação for inferior, ou igual, a 9,4 o aluno reprova. Se a classificação for superior, ou igual, a 9,5 e inferior, ou igual, a 17,4, o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades. Se a classificação for superior, ou igual, a 17,5 o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

3. MELHORIA DE NOTA

Todo o aluno que pretenda apresentar-se a melhoria de nota deve inscrever-se, para esse efeito, no CLIP (informações na Repartição Académica). A classificação do exame de melhoria é obtida de acordo com o indicado em 2. Se este resultado for superior ao já obtido anteriormente na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.

Conteúdo

0.  Revisão de alguns conceitos básicos de Álgebra Linear

0.1  Matrizes
Transformações elementares sobre as linhas/colunas de uma matriz. Matrizes elementares e equivalência de matrizes. Forma de escada e forma de escada reduzida. Característica de uma matriz.

0.2  Determinantes
Definição de determinante e teorema de Laplace. Outras propriedades do determinante.
Transformações elementares e determinantes.

0.3  Espaços Vectoriais
Espaços e subespaços vectoriais. Alguns subespaços fundamentais associados a uma matriz. Independência linear. Bases e dimensão. Mais sobre a característica de uma matriz.

1.  Matrizes particionadas em blocos
1.1    Algumas definições e operações com matrizes particionadas em blocos
1.2    Transformações/matrizes elementares por blocos
1.3    Característica da soma e do produto de matrizes
1.4    Teorema de Laplace generalizado e algumas consequências
1.5    Transformações elementares por blocos e determinantes
1.6    Complemento de Schur

2.  Valores próprios, vectores próprios e diagonalização
2.1    Valores e vectores próprios: definição e propriedades
2.2    Algumas propriedades do polinómio característico
2.3    Teorema de Cayley-Hamilton e algumas consequências
2.4    Polinómio mínimo
2.5    Matrizes companheiras de polinómios
2.6    Semelhança e diagonalização
2.7    Diagonalização simultânea

3.  Semelhança unitária e triangularização
3.1    Produto interno usual em IRn e em ICn
3.2    Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
3.3    Matrizes unitárias e matrizes ortogonais: definição e caracterizações
3.4    Triangularização de Schur e algumas consequências
3.5    Triangularização simultânea

4.  Matrizes normais
4.1    Propriedades das matrizes normais
4.2    Propriedades das matrizes hermíticas/hemi-hermíticas e das matrizes simétricas /hemi-simétricas
4.3    Propriedades das matrizes definidas positivas e das matrizes definidas não negativas
4.4    Raiz de índice k de uma matriz definida positiva/não negativa.

5. Algumas factorizações/decomposições
5.1 Factorização de característica completa.
5.2 Decomposição em valores singulares.

6. Inversas generalizadas
6.1   A inversa de Moore-Penrose.

7. Forma canónica de Jordan
7.1    Subespaços próprios generalizados.
7.2    Teorema de Jordan e algumas consequências.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: