Tópicos de Matemática Discreta

Caracterização geral

Pré-requisitos

A disponibilizar brevemente

Bibliografia

- Introdução à Teoria de Números, Filipe Oliveira, FCT - Universidade Nova de Lisboa

- Matemática Discreta, Rosário Fernandes, FCT - Universidade Nova de Lisboa

- Elementary Number Theory, Gareth Jones and Josephine Jones, Springer Undergraduate Mathematics Series

- An introduction to the Theory of Numbers, G.H. Hardy, Oxford Science Publication

- The theory of numbers: a text and source book of problems, Andrew Adler, John E. Coury, Barlett Publishers. 1995

Método de ensino

As aulas teórico-práticas consistem na exposição dos conteúdos da disciplina, ilustrada com exemplos de aplicação.Durante estas aulas, os alunos serão chamados a resolver exercícios e a elaborar demonstrações de alguns dos resultados apresentados.

Método de avaliação

Será realizado um teste no fim do semestre acerca de toda a matéria,  e cada aluno terá uma classificação referente à avaliação contínua.

Esta avaliação inclui uma exposição dos alunos acerca de um tópico a escolher de uma lista de temas fornacida ao aluno e a resolução de problemas fora do tempo de aulas.  

As notas destas duas avaliações,  terão um peso de 20%  cada na nota final.  

O teste final terá um peso de 60% na nota final.

Caso o aluno não tenha obtido na avaliação final uma nota maior ou igual a 10  poderá realizar o exame de recurso.

Conteúdo

1. Divisibilidade no Anel dos Inteiros Relativos

Divisão Euclidiana, Algoritmo de Euclides, Teorema de Bezout e Lema de Euclides, números primos e Teorema fundamental da Aritmética.

2. Revisões de estruturas algébricas

Grupos, aneis, subgrupos normais e ideiais, grupos e aneis quociente.

3. Congruências

Sistemas de resíduos módulo n, Teorema de Euler e Pequeno Teorema de Fermat, Teorema de Wilson, congruências lineares e Teorema dos restos chines.

4. Funções Aritméticas

Produto de convolução, a função de Euler e alguns resultados clássicos.

5. Criptografia

Cifras de César e sistema RSA de chave pública.

6. O problema de Waring

Estudo das equações a^2+b^2=n, x^2+y^2=z^2, x^4+y^4=z^2. O teorema de Waring.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: