Processos Estocásticos e Aplicações

Objectivos

Esta UC fundamenta o conhecimento na área dos fenómenos estocásticos. São estudados alguns exemplos fundamentais dos processos estocásticos, suas propriedades e exemplos de aplicações.

No final da UC o estudante terá adquirido conhecimentos, aptidões e competências que lhe permitam:

- Reconhecer e utilizar as principais propriedades de processos estocásticos em tempo discreto.

- Saber decidir face a uma situação real qual o melhor modelo de processo estocástico a utilizar.

- Identificar os fenómenos passíveis de modelação através de Processos de Poisson, utilizar as suas propriedades, dando especial relevo a aplicações reais.

- Identificar uma cadeia de Markov e utilizar as propriedades deste tipo de processos para análise de um modelo concreto. Efetuar aplicações a problemas reais.

- Identificar uma martingala e utilizar as propriedades deste tipo de processos no estudo do seu comportamento, em particular, na determinação do eventual comportamento assimptótico

Caracterização geral

Código

12233

Créditos

6.0

Professor responsável

Gracinda Rita Diogo Guerreiro

Horas

Semanais - 4

Totais - 62

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

O aluno deve deter conhecimentos de Teoria das Probabilidades.  

Bibliografia

Dobrow, R. (2016) Introduction to Stochastic Processes with R, John Wiley & Sons

Jones, P.; Smith, P. (2018) Stochastic Processes: An Introduction, 3rd Ed, CRC Press, Chapman & Hall

Muller, D. (2007) Processos Estocásticos e Aplicações, Almedina

Norris, J.R. (1997) Markov Chains, Cambridge University Press

Parzen, E. (1965) Stochastic Processes, Holden Day

Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V., Teugels, J. (1999) Stochastic Processes for Insurance and Finance, Wiley

Ross, S. M. (1996) Stochastic Processes, 2nd Ed., Wiley & Sons

Williams, D. (1991), Probability with Martingales, Cambridge University Press

Método de ensino

O objetivo principal da Unidade Curricular é dotar os alunos de ferramentas adequadas à modelação de fenómenos estocásticos.

Numa primeira fase, serão transmitidos os conteúdos essenciais de Processos Estocásticos, passando-se, numa segunda fase, à pormenorização de casos particulares tais como Processos de Poisson, Cadeias de Markov e Martingalas.

Será efetuada uma articulação entre a teoria destes processos e aplicações práticas a situações concretas e reais, sempre que possível.

As aulas decorrerão em regime de exposição de conteúdos, demonstração de resultados e resolução de pequenos exemplos, sendo também privilegiada a utilização de meios computacionais que permitam a resolução de problemas mais complexos.

A avaliação será efetuada através de avaliação escrita e trabalho prático computacional.

Método de avaliação

Regras de Avaliação

Método de Avaliação definido ao abrigo do Regulamento de Avaliação de 31.07.2020

Nota de Frequência

A Frequência à UC é obtida através da realização do Trabalho Prático.


Justificações de Faltas

As faltas às aulas não serão contabilizadas.

  AVALIAÇÃO CONTÍNUA / ÉPOCA 1

A avaliação contínua será feita através de dois testes (T1 e T2), a realizar em modo presencial, e um trabalho prático (TP), a realizar em grupo.

Nota Época 1 = 0.35 T1 + 0.35 T2 +0.30 TP, com T2 >= 7 valores

O aluno que obtiver uma nota final superior ou igual a 18.5 deverá realizar uma prova oral de defesa de nota (em data a acordar). Se o aluno não comparecer à prova oral a nota final será de 18 valores.

O aluno obtém aprovação à UC se Nota Época 1 for superior ou igual a 9.5 valores.


AVALIAÇÃO DA ÉPOCA 2

A avaliação da Época 2 é efetuada por Exame (E), sendo válida tanto para melhoria de nota como para aprovação à UC.

Nota Época 2 = 0.7 E + 0.3 TP , com E >= 7 valores

O aluno obtém aprovação à UC se Nota Época 2 do exame for superior ou igual a 9.5 valores.

O aluno que obtiver uma nota final superior ou igual a  18.5 deverá realizar uma prova oral de defesa de nota (em data a acordar). Se o aluno não comparecer à prova oral a nota final será de 18 valores.


Instrumentos de Auxílio em Avaliações

Durante a realização dos elementos de avaliação presenciais (Testes e Exames), os alunos poderão utilizar máquina de calcular e poderão consultar o Formulário da UC. O Formulário será cedido em pdf no início das aulas e, no dia das avaliações, será fornecido pelo docente em papel. 

 

MELHORIA DE NOTA

Os alunos que pretenderem realizar o exame de recurso, com vista à melhoria de nota, devem, antecipadamente, requerer essa melhoria junto dos serviços académicos.

O trabalho prático não é passível de ser melhorado.


Conteúdo

 0. Revisões de Conceitos Fundamentais

1. Noções Gerais de Processos Estocásticos

1.1 Definições

1.2 Processos Estacionários e Processos Evolutivos

1.3 Processos de Incrementos Independentes e Estacionários

1.4 Passeios Aleatórios

1.5 Processos de Poisson

1.6 Processos de Markov

2. Processos de Contagem

2.1 Definição

2.2 Axiomática do Processo de Poisson Homogéneo

2.3 Processos derivados do Processo de Poisson

2.3.1 Processo de Poisson Não Homogéneo

2.3.2 Processo de Poisson Misto

2.3.3 Processo de Poisson Generalizado

2.3.4 Processo de Poisson Composto

2.3.5 Processo de Poisson Espacial

2.4 Tempos entre Chegadas e Tempos de Espera

3. Cadeias de Markov a Tempo Discreto

3.1 Definições

3.2 Probabilidades de Transição e Equação de Chapman-Kolmogorov

3.3 Classificação dos Estados e Decomposição da Cadeia

3.4 Tempos de Ocupação e 1ª Passagem

3.5 Distribuição Estacionária

3.6 Teoremas Limite

 4. Martingalas a Tempo Discreto

4.1 Definições

4.1.1 Filtração

4.1.2 Martingala

4.2 Martingalas

4.2.1 Martingala a Tempo Discreto

4.2.2 Incrementos de Martingala

4.2.3 Supermartingala e Submartingala

4.3 Tempo de Paragem

4.4 Convergência em Martingalas

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: