Probabilidades e Estatística I

Caracterização geral

Pré-requisitos

Os alunos deveram ter conhecimentos básicos ao nível da análise matemática (sucessões em progressão aritmética e geométrica, somatórios, séries, derivação  e integração).

Bibliografia

Coelho, C. A. (2008). Tópicos em Probabilidades e Estatística, Vol. I, Vol. II (Cap.^s 6,7).

Mood, A. M., Graybill, F. A. e Boes, D. C. (1974). Introduction to the Theory of Statistics, 3ª ed., J. Wiley & Sons, New York.

Montgomery, D. C. e Runger, G. C. (1998). Applied Statistics and Probability for Engineers, 2ª ed., J. Wiley & Sons, New York.

Ross, S. M. (1999). Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists. J Wiley & Sons, New York.

Murteira, B. J. F. (1990). Probabilidades e Estatística, Vol I, 2ª ed., McGraw-Hill Portugal, Lisboa.

Rohatgi, V. K. (1976). An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics. J. Wiley & Sons, New York.

Método de ensino

• 2 Aulas Teóricas semanais num total de 3 horas semanais, onde são expostos e analisados os conceitos e deduzidos os principais resultados e apresentados alguns exemplos.
• 1 Aula Prática semanal de 2 horas onde são resolvidos exercícios e problemas relativos à matéria apresentada nas Aulas Teóricas

Método de avaliação

Avaliação no 2º Semestre do Ano Letivo 2019/2020

Os alunos da UC Probabilidades e Estatística I terão no 2º Semestre do ano letivo 2019/2020 ao seu dispor 4 modalidades de avaliação, de modo a obterem aprovação à referida UC. Em qualquer das modalidades terão de obter um resultado final igual ou superior a 9.5 valores (numa escala de 0 a 20) e deverão ser sujeitos a uma prova oral todos os que obtenham um resultado final igual ou superior a 18 valores (sendo que a nota final poderá então ser qualquer uma entre 17 valores e a nota inicialmente obtida, e a qual será de 17 valores no caso de não comparência na referida prova oral, a qual será, no presente semestre, realizada online).

As 4 modalidades de avaliação são:

1 – apenas realização de Exame final

2 – apenas realização dos 2 Testes, situação em que o 1º Teste terá um peso de 40% e o 2º um peso de 60% no cálculo da nota final

3 – realização dos 2 Testes e Exame final, situação em que o 1º Teste terá um peso de 20%, o 2º Teste um peso de 25% e o Exame um peso de 55% no cálculo da nota final, a qual será de facto o máximo entre esta nota e a nota do Exame (sendo todas as classificações atribuídas numa escala de 0 a 20)

4 – realização de apenas 1 dos Testes e Exame final, caso em que o Teste realizado terá a ponderação indicada em 3 e o Exame terá um peso igual a 100% menos o peso do Teste realizado, situação em que a nota final será o máximo entre a classificação obtida com as ponderações indicadas e a nota de Exame (sendo todas as classificações atribuídas numa escala de 0 a 20).

Em todas as provas realizadas online, e de acordo com as indicações recentemente recebidas da própria UNL, todos os alunos terão de ter o sistema de vídeo ligado durante a realização das referidas provas, no sistema Zoom, através do link indicado pelo docente. Também, as provas realizadas só poderão ser submetidas na plataforma Moodle da FCT/UNL.

1. Requisitos

Para poderem aceder à avaliação da Disciplina, tanto testes como Exame de Recurso, os alunos em primeira inscrição terão de ter uma assiduidade de pelo menos 80% e os outros de 2/3, quer às Aulas Teóricas, quer às Aulas Práticas (a frequência, uma vez obtida, e no caso de tal ser necessário, manter-se-á válida para o ano letivo seguinte).

 2. Avaliação

• A forma de avaliação recomendada consiste em 2 Testes:
• 1º Teste - peso: 40% - 8 de Abril  (necessária e permitida a utilização de uma calculadora simples, não-gráfica)
• 2º Teste - peso: 60% - dia 12 de Junho (sem utilização de calculadora)
• Obterá aprovação todo o aluno que tiver uma classificação final de 9,5 valores ou mais.
• Os alunos que não tenham obtido uma classificação final de 9,5 valores, ou mais, através da realização dos testes acima, poderá submeter-se a Exame de Recurso, se tiver obtido frequência.
• Também os alunos que pretendam tentar subir a nota obtida através da realização dos Testes, poderão submeter-se a Exame de Recurso (caso tenham obtido frequência)
• Os alunos com classificação superior a 17 valores deverão realizar uma prova oral de ‘defesa de nota’. Se não o fizerem ficarão com a classificação de 17 valores.

Conteúdo

1 – Cálculo Combinatório (breve revisão) 

2 – Teoria Elementar da Probabilidade

• Experiência aleatória e Espaço de resultados
• Evento e Espaço de eventos
• O conceito de Probabilidade. Propriedades das Probabilidades
• Probabilidade condicional e independência de eventos
  • Alguns resultados úteis e interessantes, envolvendo probabilidades condicionais
  • Independência condicional e Independência (marginal)
  • Odds e Odds ratio
  • Exemplo ilustrativo da razão de ser da definição de independência de mais de dois eventos
  • Exemplos de aplicação (da noção de probabilidade condicional, da fórmula de Bayes e dos Teoremas de Bayes e das Probabilidades Totais)
  • Os Lemas de Borel-Cantelli

3 – Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade

• Definição de variável aleatória. Exemplos
• Funções de distribuição de probabilidade de variáveis aleatórias. Propriedades. Quantis
• As funções de sobrevivência e risco – duas outras formas de representar a distribuição de uma v.a.
  • Dedução e estudo de uma função de risco
  • Funções de sobrevivência e risco para v.a.s discretas
• Valor esperado. Propriedades. Momentos. Algumas desigualdades importantes envolvendo momentos
• Funções geradoras de momentos e funções características
• A distribuição de Y = g(X)

4 – Distribuições conjuntas e distribuições condicionais de variáveis aleatórias

• Distribuição conjunta de duas ou mais variáveis aleatórias
• Momentos conjuntos e momentos marginais
• A função geradora de momentos conjunta
• Distribuições condicionais e independência
  • Momentos condicionais
  • O valor esperado condicional
  • Algumas notas adicionais sobre o valor esperado condicional
  • Independência de v.a.s
  • Consequências da independência
  • Outras distribuições condicionadas
  • As distribuições truncadas como casos particulares de distribuições condicionais
• Distribuições conjuntas de v.a.s de tipos diferentes
• A distribuição de (Y1, Y2) = g(X1,X2)
• As distribuições da Soma, Diferença, Produto e Quociente de duas v.a.s
• Misturas

5 – Variáveis aleatórias Discretas

• Distribuição Uniforme
• Distribuição Geométrica
• Distribuição Binomial Negativa
• Distribuição Bernoulli
• Distribuição Binomial
• Distribuição Hipergeométrica
• Distribuição Poisson

6 – Variáveis aleatórias Contínuas

• Distribuição Exponencial
• Distribuição Normal
• Distribuição Qui-quadrado
• Distribuição T
• Distribuição F
• Distribuição Gama

7 – Breve referência a variáveis aleatórias Multivariadas

• Distribuição Multinomial
• Distribuição Normal Multivariada

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: