Medida, Integração e Probabilidades

Objectivos

Os objetivos do curso incluem:

- compreender a necessidade de uma noção de integral mais flexível do que a de integral de Riemann
- compreender a construção do integral de Lebesgue
- saber aplicar os teoremas de convergência
- manipular variáveis aleatórias e os conceitos integrais com elas relacionados

Caracterização geral

Código

7816

Créditos

6.0

Professor responsável

Ana Margarida Fernandes Ribeiro

Horas

Semanais - 5

Totais - 83

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

A disponibilizar brevemente

Bibliografia

M. Capinski, E. Kopp, Measure, Integration and Probability. Springer- Verlag

G. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and their Applications, John Wiley & Sons, Second Edition, 1999

J. Lamperti, Probability: A survey of the Mathematical Theory, John Wiley & Sons, Second Edition, 1996

Método de ensino

As aulas teóricas, consistem na discussão e desenvolvimento dos conceitos introduzidos no texto de trabalho previamente fornecido para leitura autónoma. Os resultados obtidos são na generalidade todos demonstrados. É proposta uma lista de exercícios que deve ser trabalhada em autonomia e discutida nas aulas práticas onde se facilita o trabalho em grupo no sentido de estimular e tornar menos solitário o trabalho num semestre de ensino a distância. 

Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas, nas sessões destinadas a atendimento ou no Fórum de dúvidas.

Método de avaliação

1. Avaliação contínua

A classificação na avaliação contínua é uma nota entre 0 e 20 valores e resulta da classificação obtida nos três elementos de avaliação seguintes.

  • Um elemento de avaliação na componente de avaliação sumativa, com um peso de 10% (2 valores) para a nota final. A nota desta componente é a soma das notas de 5 mini-testes realizados online na plataforma Moodle. Para estes mini-testes os alunos podem consultar os materias de que dispuserem, mas não é permitida a colaboração de outras pessoas por qualquer meio.
    Datas dos mini-testes: 7 e 14 de outubro, 4 de novembro, 2 e 16 de dezembro.
  • Dois elementos de avaliação na componente de avaliação teórico-prática, com um peso de 90% (18 valores) para a nota final. Os dois elementos de avaliação consistem em dois testes realizados presencialmente. O 1º teste, realizado no decorrer do semestre, tem uma classificação máxima de 8 valores (correspondendo a 40% da nota final). O 2º teste, realizado no final do semestre, com classificação máxima de 10 valores (correspondendo a 50% da nota final).

A classificação na avaliação contínua é obtida por arredondamento às unidades da soma das classificações obtidas nos três elementos de avaliação.

Requisitos para a realização dos testes presenciais: para realizar qualquer dos testes previstos, os alunos têm de se inscrever no Clip até uma semana antes da data da prova. Além disso, no ato da prova, os alunos devem ser portadores de um caderno de exame (em branco) e de um documento de identificação além de cumprir todas as regras gerais da faculdade, nomeadamente no que diz respeito ao distanciamento físico e porte de máscara ou outros que venham a ser implementados.

Um aluno que beneficie do regime especial de trabalhador-estudante ou outro, que o impossibilite de frequentar as aulas, poderá ser avaliado segundo o regime de avaliação contínua, realizando os dois testes previstos, mas, neste caso, o peso do 1º teste será de 45% e o do 2º teste de 55%.

2. Exame

O exame é presencial e tem a duração de 3 horas. Todo o aluno ainda não aprovado na disciplina pode apresentar-se a exame, sendo a nota final obtida pela soma da nota obtida na componente de avaliação sumativa (com peso de 10%) com a nota obtida no exame (com peso de 90%). No caso dos alunos que beneficiem do regime especial de trabalhador-estudante ou outro, e que tenha por isso sido impossibilitado de realizar a avaliação sumativa, o exame tem um peso de 100%.

Para realizar o exame, os alunos têm de se inscrever no Clip até uma semana antes da data da prova. Além disso, no ato da prova, os alunos devem ser portadores de um caderno de exame (em branco) e de um documento de identificação além de cumprir todas as regras gerais da faculdade, nomeadamente no que diz respeito ao distanciamento físico e porte de máscara ou outros que venham a ser implementados.

4. Exame de melhoria de nota

Todo o aluno que pretenda obter melhoria de nota deve cumprir, para esse efeito, as formalidades legais de inscrição. Além disso, o aluno deve apresentar-se a exame, seguindo os requisitos indicados no ponto 2 acima. O resultado é obtido conforme o artigo 8º do regulamento de avaliação de conhecimentos da FCT NOVA.

Conteúdo

1-      Medida

 Medida exterior. Conjuntos mensuráveis à Lebesgue e medida de Lebesgue. Conjuntos de Borel. Sigma-álgebras.

 Probabilidade: Espaço de probabilidade. Acontecimentos, condicionamento e  independência.

2-      Funções mensuráveis

Funções mensuráveis à Lebesgue.

Probabilidade: Variáveis aleatórias. Sigma-álgebras geradas por variáveis aleatórias. Distribuição de probabilidade. Independência de variáveis aleatórias.

3-      Integral

Definição de integral. Teorema da convergência monótona. Funções integráveis. Teorema da convergência dominada.

Probabilidade: Integração em relação a distribuições de probabilidade. Medidas absolutamente contínuas. Esperança de uma variável aleatória. Função característica.

4-      Espaço das funções integráveis

Espaço L^1. Espaço L^2. Espaços com produto interno. Ortogonalidade e projeção. Espaço L^p. Espaços completos.

Probabilidade: Momentos. Independência. Esperança condicional como projecção ortogonal.

5-      Medidas produto

Medida de Lebesgue multidimensional. Sigma-álgebras produto. Construção da medida produto. Teorema de Fubini.

Probabilidade: Distribuição conjunta. Independência. Probabilidade condicionada.

6-      Teorema de Radon-Nykodim

Densidades e condicionamento. Medida de Lebesgue Stieltjes. Funções de variação limitada. Medidas com sinal.

Probabilidade: Esperança condicional relativa a uma sigma-álgebra.

7-      Teoremas limite

Convergência em probabilidade. Lei fraca dos grandes números. Lemas de Borel-Cantelli. Lei forte dos grandes números. Convergência fraca. Teorema do limite central.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: