Análise Matemática II D

Objectivos

No final desta unidade curricular é esperado que os estudantes :

- possuam conhecimento das noções, notações e objetivos da Análise Matemática em R^n, especialmente para n=2 e n=3;

- estejam habilitados a resolver problemas práticos utilizando derivadas e integrais de funções de várias variáveis.

- tenham conhecimento dos principais teoremas do cálculo diferencial e integral,  especialmente dos teoremas de Green, da divergência e de Stokes.

- conheçam a noção de série numérica e saibam analisar a convergência de séries de números reais não negativos e alternadas

Caracterização geral

Código

10572

Créditos

6.0

Professor responsável

Paula Cristiana Costa Garcia Silva Patrício

Horas

Semanais - 6

Totais - 28

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Os alunos deve ter os conhecimentos de análise matemática de funções reais de variável real correspondentes à conclusão da disciplina de Análise Matemática I. Devem possuir conhecimentos da Álgebra linear e geometria analítica, nomeadamente cálculo vetorial em R^2 e em R^3, equações das retas e dos planos em R^3, representação matricial de  aplicações lineares definidas em R^n com valores em R^m e cálculo matricial

Bibliografia

1- Cálculo vol. 2, Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis,8ª edição, Bookman/Artmed

2- Calculus III, Jerrold Marsden and Alen Weinstein

Método de ensino

O ensino consiste na leccionação de aulas teóricas, onde é apresentada e explicada toda a matéria referida nos conteúdos programáticos. São fornecidas fichas de exercícios aos alunos para serem trabalhadas fora das salas de aula, com o conhecimento adquirido previamente nas aulas teóricas. São leccionadas aulas práticas, onde o professor esclarece as dúvidas acerca das fichas fornecidas previamente, além disso são resolvidos no quadro os exercícios considerados mais relevantes.

Os alunos dispõem ainda do designado horário de dúvidas onde podem esclarecer as suas dúvidas com o professor

Método de avaliação

Avaliação Análise Matemática II D – 1º semestre 2020/21

1 - Frequência     

É atribuída Frequência aos alunos que tenham frequentado ⅔ das aulas práticas presenciais e entreguem 7 das tarefas propostas para a avaliação sumativa. Os alunos com estatuto de trabalhador estudante  e os alunos com frequência obtida no semestre anterior estão dispensados de frequência neste semestre.

2 - Avaliação de contínua                                                            

Só os alunos que tenham frequência ou  estejam dispensados de frequência  é que podem obter aprovação na  disciplina por avaliação contínua.

A avaliação de contínua tem duas componentes avaliação teórico-prática (TP) e avaliação sumativa (AS).

2.1 Avaliação teórico-prática

A avaliação teórico-prática é realizada através de dois testes T1 e T2. Cada teste tem duração de 1h e 15 min e será classificado de 0 a 18 valores. O segundo teste terá uma classificação mínima de 6,5 valores.

2.2 Avaliação sumativa

Ao longo do semestre serão dadas tarefas semanais que serão avaliadas e classificadas  entre 0 a 2 valores. A média das 7 melhores tarefas corresponderá à nota final da avaliação sumativa (NS), com classificação entre 0 a 2 valores.

2.3 Nota final da Avaliação contínua 

A nota de avaliação contínua será calculada a partir dos elementos da avaliação teórico-prática e da nota da avaliação sumativa de seguinte forma:

AC=(T1+T2)/2 + AS

Se a classificação do 2º teste (T2) for superior ou igual a 6.5 valores e a nota de avaliação contínua (AC) fôr superior, ou igual, a 9,5 o aluno fica aprovado. Se a AC for inferior, ou igual, a 17,4, o aluno fica com essa classificação arredondada às unidades. Se a AC  for superior, ou igual, a 17,5 o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota. Se a classificação do 2º teste (T2) for inferior a 6.5 valores ou a nota de avaliação contínua AC, arredondada às unidades, for inferior a 10 valores, o aluno poderá apresentar-se a Exame de Recurso. 

3.2 - Exame

Podem apresentar-se a Exame todos os alunos inscritos na disciplina que tenham obtido Frequência ou estejam dispensados de Frequência.

O exame será cotado para 18 valores e a sua nota (E) substituirá a nota da avaliação Teórico-prática. Assim a nota de final (NF) será calculada a partir da média dos testes e da nota da avaliação sumativa de seguinte forma:

NF= E + AS

Se a nota de nota final (NF) for superior, ou igual, a 9,5  e inferior, ou igual, a 17,4, o aluno fica aprovado com essa classificação arredondada às unidades. Se a nota de nota final (NF) for superior, ou igual, a 17,5 o aluno estará aprovado e poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.  Se a nota de nota final (AC), arredondada às unidades, for inferior a 10 valores, o aluno estará reprovado.

Os alunos aprovados que queiram fazer melhoria têm de se inscrever nos serviços académicos.

Conteúdo

1-      Revisão de alguns conceitos de Geometria Analítica

1.1   Cónicas.

1.2   Quádricas.

2-      Limites e continuidade em R^n

2.1   Noções topológicas em R^n.

2.2   Funções vetoriais e funções de várias variáveis reais: domínio, gráfico, curvas e superfícies de nível .

2.3   Limite e continuidade de funções de várias variáveis reais

3-      Cálculo diferencial em R^n

3.1   Derivadas parciais e teorema de Schwarz.

3.2   Derivada segundo um vetor. Matriz Jacobiana, vetor gradiente e noção de diferenciabilidade.

3.3   Diferenciabilidade da função composta. Teorema de Taylor. Teorema da função implícita e teorema da função inversa.

3.4   Extremos relativos. Extremos condicionados e multiplicadores de Lagrange.

4-      Cálculo integral em R^n

4.1   Integrais duplos. Integrais iterados e teorema de Fubini. Mudança de variável em integrais duplos. Integrais duplos em coordenadas polares. Aplicações.

4.2    Integrais triplos. Integrais iterados e teorema de Fubini. Mudança de variável em integrais triplos. Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas. Aplicações.

5-      Análise vetorial

5.1   Campos vetoriais: gradiente, divergência e rotacional. Campos fechados. Campos conservativos. Aplicações.

5.2   Formalismo das formas diferenciais. Integrais de linha de campos escalares e de campos vetoriais. Teorema fundamental para integrais de linha. Teorema de Green. Aplicações.

5.3   Integrais de superfície de campos escalares. Fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Teorema de Stokes e Teorema de Gauss-Ostrogradsky. Aplicações.

6-      Séries numéricas

6.1   Convergência de séries numéricas. Condição necessária de convergência. Séries telescópicas. Séries geométricas.

6.2   Séries de termos não negativos. Séries de Dirichlet. Critérios de comparação. Critério da razão. Critério de D’Alembert. Critério da raiz. Critério de Cauchy.

6.3   Convergência simples e absoluta. Séries alternadas e critério de Leibnitz.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: