Análise Matemática II B

Objectivos

No final desta unidade curricular o estudante terá adquirido conhecimentos, aptidões e competências que lhe permitam:

- Trabalhar com noções elementares de topologia em Rn,  (vizinhança, aberto, fechado, etc.);

- Compreender a noção rigorosa de limite, continuidade e diferenciabilidade de funções vectoriais de variável real.

-  Aplicar as funções vectoriais de variável real nas parametrizações das curvas e no estudo das respectivas propriedades.

- Compreender a noção rigorosa de limite e continuidade de funções reais e vectoriais de várias variáveis e calcular limites.

- Conhecer a noção de derivada parcial, diferenciabilidade,  os teoremas da função implícita e da função inversa.

- Conhecer o desenvolvimento de Taylor  e aplicações ao estudo de funções e cálculo de extremos.

- Conhecer a noção de  integral duplo e triplo e saber calcular estes integrais usando as coordenadas mais adequadas.

- Conhecer algumas aplicações dos integrais duplo e triplo.

- Conhecer a noção de integral de linha, suas aplicações e respectivos resultados fundamentais.

- Conhecer a noção de integral de superfície, aplicação ao cálculo do fluxo e respectivos resultados.

Caracterização geral

Código

10476

Créditos

6.0

Professor responsável

A disponibilizar brevemente

Horas

Semanais - A disponibilizar brevemente

Totais - 70

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Cálculo diferencial e integral em R. Rudimentos de cálculo matricial.

Bibliografia

H. Anton, I. Bivens, S. Davis, Cálculo, volume 2, 8ª edição, Bookman, Porto Alegre, 2007.

G. E. Pires, Cálculo diferencial e integral em Rn, IST Press, Lisboa, 2012.

Método de ensino

As aulas teóricas consistem em exposição da matéria, que é ilustrada com exemplos de aplicação.

As aulas práticas consistem na resolução de exercícios de aplicação dos métodos e resultados apresentados nas aulas teóricas. Estes exercícios são escolhidos numa lista fornecida pelos docentes.

Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor. 

Método de avaliação

1 - Frequência     

É atribuída Frequência aos alunos que comparecerem a pelo menos dois terços das aulas práticas lecionadas;

 Os alunos com estatuto de Trabalhador Estudante  estão dispensados de frequência neste semestre.

 

2 - Avaliação Contínua

A Avaliação Contínua da unidade curricular é efectuada com recurso a:

1) Avaliação Teórico-Prática: Dois testes escritos, cada um com duração de uma hora e meia, a realizar durante o semestre.

2) Avaliação Sumativa: Avaliação a ser feita no turno prático em que o aluno se encontra inscrito. Entre outros indicadores, utiliza dois mini-testes, cada um com duração de quinze minutos, bem como eventuais chamadas ao quadro para resolução de problemas, ou eventual recolha de trabalhos de casa solicitados para avaliação.

Ao primeiro (t1) e ao segundo (t2) teste será atribuída uma classificação entre 0 e 20 valores. À componente de Avaliação Sumativa (p) será atribuída uma classificação entre 0 e 2 valores. Um aluno que cumpra o critério de Frequência acima explicitado, terá uma classificação final por Avaliação Contínua igual a 0.45 t1 + 0.45 t2 + p , caso tenha obtido frequência no presente semestre, ou 0.5 t1 + 0.5 t2 , caso esteja dispensado da obtenção de frequência, em ambos os casos arredondada às unidades.

O aluno obterá aprovação na unidade curricular se esta classificação for superior ou igual a 10 valores. Caso contrário, o aluno terá reprovado por Avaliação Continua à unidade curricular.

3 – Época de Recurso

Os alunos reprovados por Avaliação Contínua, que tenham obtido Frequência à unidade curricular ou que dela tenham sido dispensados, podem apresentar-se a uma prova complementar, adiante designada por Exame, a realizar na época de recurso.

O Exame consiste numa prova escrita, com duração de 3 horas, que avalia a totalidade dos conteúdos lecionados na unidade curricular. A prova está dividida em duas partes, E1 e E2, cuja matéria avaliada corresponde, respetivamente, à avaliada nos 1º e 2º testes.

Ao Exame será atribuída uma classificação (E) entre 0 e 20 valores, sendo a classificação final do aluno igual a 0.9E+ p, caso tenha obtido frequência no presente semestre, ou simplesmente E, caso esteja dispensado da obtenção de frequência, em ambos os casos arredondada às unidades.

O aluno obterá aprovação na unidade curricular se esta classificação for superior ou igual a 10 valores. Caso contrário, o aluno terá reprovado à unidade curricular.

Em alternativa, o aluno pode realizar apenas uma das partes do Exame, E1 ou E2, cuja duração será nesse caso igual à dos testes (1h e 30m). A obtenção de aprovação à unidade curricular e a determinação da respetiva classificação final seguirá neste caso as regras de aprovação por Avaliação Contínua, substituindo-se a classificação do teste repetido pela nova classificação e mantendo-se inalteradas as restantes.

Ao inscreverem-se para a realização do Exame, os alunos devem indicar que tipo de avaliação pretendem efetuar (E, E1 ou E2).

4 - Defesa de Nota

Todos os alunos com uma classificação final superior ou igual a 17 valores podem, caso o desejem, apresentar-se a uma prova de defesa de nota. A não realização desta prova implica uma classificação final de 16 valores à unidade curricular.

5 - Melhoria de Classificação

Os alunos aprovados na unidade curricular podem requerer, mediante o cumprimento de todas as disposições impostas pela FCT NOVA, Melhoria de Classificação.

Se tiverem obtido aprovação à unidade curricular no presente semestre, na altura de inscrição para a prova, podem optar por realizar E, E1 ou E2, sendo a sua classificação provisória determinada tal como no caso dos alunos que estão a tentar a aprovação.

No caso de não terem obtido aprovação à unidade curricular no presente semestre, devem realizar o Exame na totalidade (E1 e adicionalmente E2). A sua classificação provisória será igual à nota de Exame (arredondada às unidades).

6 - Logística

Com o objetivo de racionalizar os recursos da FCT NOVA (instalações, pessoal docente e pessoal não docente), apenas se podem apresentar a cada um dos testes da Avaliação Contínua e ao Exame os alunos devidamente inscritos para o efeito através da página CLIP da unidade curricular. Devem ainda apresentar-se munidos de um caderno de prova em branco, material de escrita e documento de identificação oficial, com fotografia recente.

Em qualquer situação omissa, aplica-se o Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, de 26 de Julho de 2019. 

Conteúdo

1. Revisão de alguns conceitos de Geometria Analítica

  1.1.Cónicas.

  1.2.Quádricas.

 

2.Limites e Continuidade em Rn

  2.1.Noções Topológicas em Rn.

  2.2.Funções Vetoriais e Funções de Várias Variáveis Reais: Domínio, Gráfico, Curvas e Superfícies de Nível.

  2.3.Limite e Continuidade de Funções de Várias Variáveis Reais.

 

3. Cálculo Diferencial em Rn

3.1.Derivadas Parciais e Teorema de Schwarz.

3.2.Derivada segundo um vetor. Matriz Jacobiana. Vetor Gradiente e noção de Diferenciabilidade.

3.3.Diferenciabilidade da Função Composta. Teorema de Taylor. Teorema de Função Implícita e Teorema da Função Inversa.

3.4.Extremos Relativos. Extremos Condicionados e Multiplicadores de Lagrange.

 

4. Cálculo Integral em Rn

  4.1.Integrais Duplos. Integrais Iterados e Teorema de Fubini. Mudança de variável em Integrais Duplos. Integrais Duplos cm Coordenadas Polares. Aplicações.

  4.2.Integrais Triplos. Integrais Iterados e Teorema de Fubini. Mudança de variável em Integrais Triplos. Integrais Triplos em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas. Aplicações.

 

5. Análise Vetorial

  5.1.Campos Vetoriais: Gradiente, Divergência e Rotacional. Campos Fechados. Campos Conservativos. Aplicações.

  5.2.Formalismo das Formas Diferenciais. Integrais de Linha de Campos Escalares e de Campos Vetoriais. Teorema Fundamental para Integrais de Linha. Teorema de Green. Aplicações.

  5.3.Integrais de Superfície de Campos Escalares. Fluxo de um Campo Vetorial através de uma Superfície. Teorema de Stokes e Teorema de Gauss-Ostrogradsky. Aplicações.