Cálculo Numérico

Objectivos

O objectivo é de apresentar e de ilustrar vários métodos numéricos para a resolução prática de algumas classes de problemas matemáticos: equações não lineares, aproximação de funções, integração, sistemas de equações e equações diferenciais ordinárias.

Caracterização geral

Código

10478

Créditos

3.0

Professor responsável

A disponibilizar brevemente

Horas

Semanais - A disponibilizar brevemente

Totais - 39

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Conhecimentos básicos em análise e algebra linear

Bibliografia

  • Quarteroni A., Saleri F.,  Scientific Computing with MATLAB and Octave, Series: Texts in Computational Science and Engineering , Vol. 2 Springer, 2006

  • Quarteroni A., Sacco R., Saleri F., Numerical Mathematics, Springer, 2000

  • Burden R. e Faires J. , Numerical Analysis, Brooks-Cole Publishing Company, 9th Edition, 2011.

  • Pina H., Métodos Numéricos, Mc Graw Hill, 1995

Método de ensino

A cadeira funciona com aulas Teórico-Práticas (TP), nas quais serão explicados e discutidos os sucessivos tópicos do programa da cadeira. Por forma a consolidar a matéria dada serão resolvidos exercícios relativos a cada um dos tópicos abordados. De modo a implementar alguns dos métodos abordados as aulas TP serão leccionadas  num Laboratório onde existem computadores com o softwares wxMaxima instalado..

Os alunos de modo a serem avaliados terão que assistir a pelo menos 2/3 das aulas TPs ou terem obtido frequência no ano anterior (para mais detalhe consultar métodos de avaliação ).

A avaliação da cadeira consiste na realização de dois testes que versam os conhecimentos adquiridos nas aulas TPs da cadeira e/ou um trabalho computacional a ser elaborado em grupo.

Método de avaliação

1. Frequência

É atribuída FREQUÊNCIA:

  • aos alunos que tenham comparecido a pelo menos 2/3 das aulas práticas lecionadas durante o semestre.Note-se que as justificações de faltas têm que ser entregues logo após o regresso às aulas.
  • aos alunos com estatuto de trabalhador/estudante ou qualquer outro reconhecido pelas regras de avaliação da Faculdade.
  • aos alunos que no ano anterior tenham obtido frequência. 

2. Avaliação

Observações:

  • Todas as provas são classificadas de 0 a 20 valores.
  • O aluno obtém aprovação à cadeira se a nota final, NF, for maior ou igual a 9.5 valores.
  • O aluno que obtiver uma nota final igual ou superior a 16.5 valores poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota. Se o aluno não realizar esta prova ficará com a nota final de 16 valores.
  • No acto da prova escrita o aluno terá que ser portador do seu Bilhete de Identidade/Cartão de Cidadão e/ou do seu cartão de Estudante.
  • Nas parcelas de cada uma das fórmula abaixo será considerado arredondamento às décimas.
  • A avaliação da cadeira de Cálculo Numérico consiste na realização de dois testes, com a duração de 1 hora e 30 minutos o primeiro e 2 horas o segundo, ou através de Exame, com a duração de 3 horas.
  • Adicionalmente às provas referidas anteriormente, os alunos podem realizar um trabalho computacional (realizado em grupo) durante o semestre, cuja nota terá um peso na nota final.

2.1 Avaliação contínua

A avaliação durante o semestre consiste na realização de dois testes e um trabalho computacional.

Podem apresentar-se a qualquer um dos testes todos os alunos inscritos na disciplina que tenham FREQUÊNCIA.

  1. Se o aluno desistir ou não comparecer num dos testes a classificação nesse teste será de 0 valores.
  2. O aluno pode optar por uma das seguintes formas de avaliação:

                 2.1 Dois testes e um trabalho computacional,  e neste caso o  aluno                         obtém a classificação final, NF,     

NF=0.35×NT1+0.55×NT2+0.1×NTC,

             onde NT1, NT2 designam as classificações obtidas nos testes 1 e 2, respectivamente, e                    NTC a classificação do trabalho computacional.      

        Note-se que caso o aluno entregue o trabalho computacional a sua avaliação será feita da forma descrita acima.

 

              2.2. Dois testes, e neste caso o  aluno obtém a classificação final, NF,

NF=0.4×NT1+0.6×NT2,

   onde NT1, NT2 designam as classificações obtidas nos testes 1 e 2, respectivamente. 

         3.Se NF≤9.4 valores o aluno reprova.

         4. Se NF≥16.5 valores o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

        5.Se 9.5≤NF≤16.4 o aluno obtem como classificação final NF arredonda às unidades.

2.2 Época de Recurso

Pode apresentar-se a exame de recurso todo o aluno ainda não aprovado na disciplina que tenha FREQUÊNCIA

  1. Se a classificação no exame, NE, for inferior a 9.4 valores o aluno reprova.
  2. Se a classificação no exame for igual ou superior a 9.5 valores a nota final do aluno é NF=max{NE, 0.90×NE+0.10×NTC}.
  3. A classificação final será obtida de modo idêntico à da Avaliação contínua.

2.3 Melhoria de nota

Todo o aluno que pretenda efectuar melhoria de nota deve inscrever-se, para esse efeito, na Repartição Académica. A classificação de exame de melhoria de nota é efectuada de modo análogo ao da Época de Recurso, caso o aluno faça a melhoria no ano em que elaborou o Trabalho Computacional. Caso contrário a classificação resume-se à classificação obtida no Exame de Recurso.

 Se o resultado for superior ao já obtido na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota

Conteúdo

1.Introdução

1.1 Erros, casas decimais signicativas e algarismos signicativos.

1.2 Condicionamento de um problema e estabilidade de um método.

1.3 Introdução a um programa computacional para a Análise Numérica.

2. Interpolação e Aproximação  Polinomial

2.1 Interpolação e polinómios de Lagrange.

2.2 Diferenças divididas, polinómio interpolador de Newton.

2.3 Interpolação por splines cúbicos.

2.4 Aproximação pelo Método dos Mínimos Quadrados.

3. Integração Numérica

3.1 Fórmulas de integração  numérica de Newton-Cotes simples e compostas.

3.2 Método de integração de Gauss. Outros métodos de integração.

4. Resolução de equações não lineares

4.1 Método da bissecção.

4.2 Método do ponto fixo. Método de Newton. Método da secante.

5. Resolução de sistemas de equações lineares

5.1 Normas vectoriais e normas matriciais. Condicionamento de um sistema.

5.2 Valores próprios e vectores próprios. Localização de valores próprios (Teorema de

Gershgorin).

5.3 Métodos iterativos : caso geral.

5.4 Métodos de Jacobi, de Gauss-Seidel e de Relaxação.

6. Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias

6.1 Métodos de Euler.

6.2 Métodos de Taylor.

6.3 Métodos de Runge-Kutta.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: