Análise Matemática I

Objectivos

Aquisição de conhecimentos e competências necessários à realização de subsequentes disciplinas de Análise Matemática, Probabilidades, Análise Numérica e às disciplinas científicas específicas de cada licenciatura ou mestrado integrado. 

Caracterização geral

Código

11504

Créditos

6.0

Professor responsável

A disponibilizar brevemente

Horas

Semanais - A disponibilizar brevemente

Totais - 72

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Os aluno deve dominar os conteúdos programáticos de Matemática A do Ensino Secundário português.

Bibliografia

A disciplina dispõe de um texto de apoio disponibilizado no CLIP. Além deste, recomendamos ao aluno a consulta dos seguintes textos:

 

Alves de Sá, A. e Louro, B., Cálculo Diferencial e Integral em ℝ

Alves de Sá, A. e Louro, B., Cálculo Diferencial e Integral em ℝ, Exercícios Resolvidos, Vol. 1,2,3

Anton, Bivens and Davis, Calculus ed Wiley.

Campos Ferreira, J., Introdução à Análise Matemática, ed Fundação Calouste Gulbenkian.

Lages de Lima, E., Curso de Análise Vol 1, ed IMPA (projeto Euclides)

 Rudin, Principles of Mathematical Analysis, ed Mac Graw Hill

Nota 1: Para o aluno interessado na história dos conceitos leccionados na disciplina, recomendamos

Hairer E. Wanner G. Analysis by Its History, Springer. 

Bento de Jesus Caraça, Conceitos Fundamentais da Matemática.

Nota 2: O Aluno poderá praticar os exercícios de testes e exames de edições anteriores da disciplina e que se encontram disponíveis no CLIP.

Método de ensino

Método de ensino baseado na leccionção de aulas teóricas e aulas práticas, apoiadas com horários de atendimento.

Método de avaliação

Importante:

Para ter avaliação na disciplina o aluno tem que ter frequência à disciplina. A frequência obtem-se pela assistência a pelo menos 2/3 dos turnos práticos bi-semanais.

 

Modos de avaliação:

1-Avaliação contínua. 

Avaliação por 3 testes no decurso do semestre com possibilidade de melhoria de um dos testes na data de exame. A nota final é a média aritmética dos três testes. O aluno é aprovado se a nota final fôr superior ou igual a 9,5 valores (após arredondamento por excesso das centésimas).

Cada teste tem duração de 1 hora e 30 minutos.

A inscrição nos testes é obrigatória (ver informação para inscrição na secção Avisos da página da disciplina).  

 

 2- Avaliação por exame final.

O aluno é aprovado se tiver nota de exame superior ou igual a 9,5 valores  (após arredondamento por excesso das centésimas).

O exame final tem uma duração de 3h.

 

NOTAS:

1) O uso de instrumentos calculatórios (calculadora, telemóvel,etc) não é permitido em testes ou exames da disciplina. 

2) O modelo avaliativo exposto aplica-se apenas à disciplina de AM1, não tendo extensão obrigatória às disciplinas de tipo AM2.  

Conteúdo

1. Topologia elementar da recta real.

1.1 Vizinhança de um ponto. Ponto interior, exterior, fronteiro, isolado, aderente e de acumulação.

1.2 Conjunto aberto, fechado, limitado e compacto.

 

2. Indução Matemática e Sucessões

2.1 Princípio de Indução Matemática.

2.2 Noção de convergência e limite de uma sucessão. Álgebra de limites. Subsucessões. Sublimites. Teoremas Fundamentais. Sucessões de Cauchy. 

3. Limites e Continuidade em R

3.1 Limite de uma função segundo Cauchy e segundo Heine. Álgebra de limites.

3.2 Continuidade de uma função num ponto. Prolongamento por continuidade. Teorema de Bolzano e Teorema de Weierstrass. Continuidade da função composta. Continuidade da função inversa para a composição de funções. Funções inversas clássicas.

4. Cálculo Diferencial em R

4.1 Definição de diferenciabilidade num ponto. Interpretação geométrica. Derivada de uma função. Derivada da função composta e derivada da função inversa. Teorema de Rolle, Teorema de Lagrange. Derivada e monotonia. Teorema de Darboux e Teorema de Cauchy. Regra de L''''Hospital-Cauchy.

4.2 Teorema de Taylor e aplicações.

5. Cálculo Integral em R

5.1 Primitivas. Primitivação por partes. Primitivação por substituição. Primitivação de funções racionais. Primitivação de funções irracionais e de funções transcendentes.

5.2 Integral de Riemann. Teorema do valor médio. Teorema Fundamental do Cálculo Integral. Regra de Barrow. Integração por partes e integração por substituição. Aplicação ao cálculo de áreas. 

5.3 Integrais impróprios.