Análise Matemática III B

Objectivos

O aluno deve compreender os conceitos e ser capaz de efectuar os cálculos com eles relacionados

 

Caracterização geral

Código

5005

Créditos

6.0

Professor responsável

A disponibilizar brevemente

Horas

Semanais - A disponibilizar brevemente

Totais - 70

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Os pré-requisitos consistem nos conceitos básicos de cálculo a uma e mais variáveis, leccioonadas nas disciplinas de Análise Matemática I e II.

Bibliografia

AHLFORS, L. V., Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979.

AGARWAL, Ravi, PERERA, Kanisshka e PINELAS, Sandra - An Introduction to Complex Analysis, 2011, Springer

ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. -  Cálculo II; 8ª Edição, Bookman, 2007. 

CAMPOS FERREIRA, J. - Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 1982. 

CARREIRA, M. A. e NÁPOLES, M. S., Variável complexa - Teoria elementar e exercícios resolvidos, McGraw-Hill. 

DIAS AGUDO, F. R. - Análise Real, 2ª edição, Livraria Escolar Editora, 1994.  

MARSDEN, J., e HOFFMAN, M. J., Basic Complex Analysis, 3ª edição, Freeman, 1999.

MARSDEN, J. e WEINSTEIN, A. - Calculus III; Springer, 2ªEdição, 1984.

SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. - Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science - 3rd Edition, Pearson Education, 2003.

SÁ, A. e LOURO, B. - Sucessões e Séries, Teoria e Prática. Escolar Editora, 2009.

Método de ensino

Método de ensino baseado na leccionação de aulas teóricas e aulas práticas, apoiadas com horários de atendimento

Método de avaliação

Frequência

Será concedida Frequência a qualquer aluno que não falte injustificadamente a mais do que 1/3 das aulas práticas lecionadas, correspondentes ao turno em que se encontra inscrito. Estão dispensados de frequência os alunos que a tenham obtido num dos semestres do ano letivo 2018/2019 ou que tenham algum dos estatutos especiais previstos por lei.

A avaliação de conhecimentos é realizada através de Avaliação Contínua ou Exame de Recurso.

Avaliação Contínua

Ao longo do semestre serão realizados dois testes com duração de 1 hora 30 minutos. Cada teste tem classificação até um máximo de 20 valores.

 1º Teste (t1): podem apresentar-se ao 1º teste todos os alunos inscritos na disciplina.

  2º Teste (t2): podem apresentar-se ao 2º teste todos os alunos inscritos na disciplina que tenham obtido frequência ou tenham estatuto especial.

A classificação da avaliação contínua (AC) é obtida através da seguinte fórmula:

AC=(t1+t2)/2

O aluno é aprovado na disciplina se AC for superior ou igual a 9,5 valores. Se AC for inferior a 16,5 valores a nota final da disciplina será AC. Se AC for superior ou igual a 16,5 valores o aluno pode optar entre obter uma nota final de 16 valores ou realizar uma prova suplementar de defesa de nota.

Exame de Recurso 

Podem apresentar-se a Exame de Recurso todos os alunos inscritos na disciplina que tenham obtido Frequência ou tenham estatuto especial. 

Na data e hora previstas para a realização do Exame de Recurso em janeiro de 2020,  qualquer aluno inscrito na disciplina que tenha obtido Frequência ou tenha estatuto especial, e que não tenha obtido aprovação na Avaliação Contínua, pode realizar o exame de 3 horas ou pode optar por repetir um dos testes de 1 hora 30 minutos. Se o aluno optar por repetir um dos testes, a classificação é calculada tal como no caso da Avaliação Contínua.

Se o aluno realizar o Exame de Recurso e a sua classificação for superior, ou igual, a 9,5 valores, o aluno fica aprovado com a nota obtida, caso esta seja inferior a 16,5. Se a nota fôr superior ou igual a 16,5 valores o aluno pode optar entre obter uma nota final de 16 valores ou realizar uma prova suplementar de defesa de nota.

Melhoria de nota

Os alunos têm direito de efetuar melhoria de nota, mediante inscrição nos prazos fixados, na época de recurso. Nesse caso, poderão efetuar o Exame de 3 horas ou repetir um dos Testes de 1 hora 30 minutos como descrito na alínea anterior. No caso em que um aluno faz melhoria tendo obtido aprovação num semestre anterior, só poderá efetuar o Exame de 3 horas.

Logística

Com o objetivo de racionalizar os recursos da FCT (instalações, pessoal docente e pessoal não docente), só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que se inscrevam para o efeito através do CLIP, no decurso do período aí estipulado. Só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que, no ato da prova, sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão,  Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante) e caderno de exame em branco.

Considerações finais

Em tudo o que o presente Regulamento seja omisso valem os Regulamentos Gerais da FCT-UNL.

Conteúdo

1. Séries

1.1 Séries numéricas

1.1.1 Convergência de Séries Numéricas. Condição Necessária de Convergência. Séries Telescópicas. Séries Geométricas.

1.1.2 Séries de termos não negativos. Critério do integral. Séries de Dirichlet. Critérios de comparação. Critério da Razão. Critério de d’Alembert. Critério da Raiz. Critério da Raiz de Cauchy. Critério de Kummer. Critério de Raabe.

1.1.3 Convergência simples e absoluta. Séries alternadas e Critério de Leibniz. Multiplicação de séries.

1.2 Séries de Funções

1.2.1. Sucessões de funções. Convergência pontual e convergência uniforme.

1.2.2 Séries de funções: convergência pontual e convergência uniforme. Critério de Weierstrass. Continuidade. Integrabilidade e diferenciabilidade termo a termo.

1.2.3 Séries de potências. Raio de convergência. Intervalo de convergência. Convergência uniforme. Integrabilidade e diferenciabilidade termo a termo.

1.2.4 Séries de Taylor e de MacLaurin.

2. Análise complexa

2.1 Generalidades sobre o corpo dos números complexos; conjugado, módulo e argumento; forma polar de um número complexo. Raízes n-ésimas de números complexos. Fórmulas de De Moivre.

2.2 Funções polinomiais de variável complexa. Função exponencial, funções trigonométricas circulares e hiperbólicas, ramo principal do logaritmo e funções trigonométricas inversas.

2.3 Limites e continuidade de funções complexas de variável complexa.

2.4 Funções Holomorfas. Equações de Cauchy-Riemann.

2.5 Integral de uma função complexa de variável complexa ao longo de uma curva seccionalmente regular.

2.6 Teorema de Cauchy. Fórmulas integrais de Cauchy

2.7 Funções analíticas. Séries de Taylor. Relação com as funções holomorfas.

2.8 Singularidades essenciais, polos e singularidades removíveis. Séries de Laurent.

2.9 Teorema dos resíduos. Aplicações ao cálculo dos integrais impróprios.