Análise Complexa

Caracterização geral

Pré-requisitos

Bons conhecimentos de análise real (uma e mais variáveis), de geometria analítica no plano e da topologia usual de R^2.

Bibliografia

SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. - Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science - 3rd Edition, Pearson Education, 2003.

L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill (1979)

M. A. Carreira e M. S. Nápoles, Variável complexa - teoria elementar e exercícios resolvidos, McGraw-Hill (1998)

S. Lang, Complex Analysis, Springer (1999), ISBN 0-387-98592-1

J. E. Marsden and M. J. Hoffman, Basic Complex Analysis - Third Edition, Freeman (1999), ISBN 0-7167-2877-X 

Método de ensino

Nas aulas, a teoria é exposta e são apresentados exemplos de aplicação e ilustração. Os resultados apresentados são demonstrados. É dada oportunidade aos alunos de trabalhar na resolução de problemas constantes de uma lista previamente disponibilizada, com o apoio do professor caso o necessitem. Os resultados relevantes ilustrados pelos exercícios são objecto de comentário do professor.

Método de avaliação

A avaliação de conhecimentos é realizada através de Avaliação Contínua ou Exame de Recurso, presenciais. A Avaliação Contínua é composta por dois testes e nota da avaliação em aula.

 Avaliação em Aula (AEA)

Para cada semana, será disponibilizado antecipadamente uma lista de exercícios propostos para os alunos trabalharem antes das aulas práticas. Nas aulas práticas, os alunos fazem apresentações com base nesse trabalho, sendo no final do semestre atríbuido uma nota de 0,1 ou 2 valores a cada aluno.

 Avaliação Contínua

É proibido utilizar máquinas de calcular gráficas, ou quaisquer instrumentos de suporte de cálculo durante momentos de avaliação.

Ao longo do semestre serão realizados dois testes com duração de 1 hora 30 minutos. Cada teste tem classificação até um máximo de 20 valores.

Seja CT a média aritmética simples dos dois testes arredondada às unidades e NF o mínimo entre 20 e CT+AEA. O aluno obtém aprovação à cadeira se NF≥10. Se NF≤16, o aluno fica aprovado com a classificação final NF . Se NF≥17, o aluno pode optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

Exame de Recurso 

É proibido utilizar máquinas de calcular gráficas, ou quaisquer instrumentos de suporte de cálculo durante momentos de avaliação.

Podem apresentar-se a exame de recurso todos os alunos inscritos na disciplina que não tenha obtido aprovação na avaliação contínua. Os alunos podem optar por repetir um dos testes de 1 hora e 30 minutos. Se o aluno optar por repetir um dos testes, a classificação é calculada tal como no caso da avaliação contínua. Se o aluno realizar o exame de recurso, seja  ER a classificação do exame, arredondada às unidades, e NR o mínimo entre 20 e ER+AEA. O aluno obtém aprovação à cadeira se NR≥10. Se NR≤16, o aluno fica aprovado com a classificação final NR . Se NR≥17, o aluno pode optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

Melhoria de nota

É proibido utilizar máquinas de calcular gráficas, ou quaisquer instrumentos de suporte de cálculo durante momentos de avaliação.

Os alunos têm direito de efetuar melhoria de nota, mediante inscrição nos prazos fixados, na época de recurso. Nesse caso, poderão efetuar o Exame de 3 horas ou repetir um dos Testes de 1 hora 30 minutos como descrito na alínea anterior. No caso em que um aluno faz melhoria tendo obtido aprovação num semestre anterior, só poderá efetuar o Exame de 3 horas.

Logística
Com o objetivo de racionalizar os recursos da FCT (instalações, pessoal docente e pessoal não docente), só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que se inscrevam para o efeito através do CLIP, no decurso do período aí estipulado.

Se na época de recurso o aluno optar por repetir um dos testes deve inscrever-se para este caso contrário realizará exame de recurso.

Só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que, no ato da prova, sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão, Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante) e caderno de exame em branco.

Considerações finais

Em qualquer situação omissa, aplica-se o Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa.

Conteúdo

1. Funções de variável complexa: Aritmética dos números complexos (revisão). Definição das funções elementares. Limites e continuidade. Diferenciabilidade – funções analíticas. Diferenciação das funções elementares. Funções harmónicas. Aplicações conformes.

2. Integração de funções de variável complexa – teorema de Cauchy: Integração de funções de variável complexa. Teorema de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy. Teoremas fundamentais: teorema de Morera, desigualdades de Cauchy, teorema de Liouville, teorema fundamental da Álgebra, teorema do máximo do módulo.

3. Séries de potências; séries de Laurent: Convergência pontual e uniforme de sucessões e séries de funções. Séries de potências. Teorema de Taylor; analiticidade. Singularidades – séries de Laurent. Singularidades isoladas; classificação de singularidades isoladas.

4. Resíduos: Métodos de cálculo de resíduos. Teorema dos resíduos. Aplicação ao cálculo de integrais (reais e complexos).

5. Aplicação Conforme. Exemplos e Aplicações.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: