Análise Matemática II B
Objetivos
No final desta unidade curricular o estudante terá adquirido conhecimentos, aptidões e competências que lhe permitam:
- Trabalhar com noções elementares de topologia em Rn, (vizinhança, aberto, fechado, etc.);
- Compreender a noção rigorosa de limite, continuidade e diferenciabilidade de funções vectoriais de variável real.
- Aplicar as funções vectoriais de variável real nas parametrizações das curvas e no estudo das respectivas propriedades.
- Compreender a noção rigorosa de limite e continuidade de funções reais e vectoriais de várias variáveis e calcular limites.
- Conhecer a noção de derivada parcial, diferenciabilidade, os teoremas da função implícita e da função inversa.
- Conhecer o desenvolvimento de Taylor e aplicações ao estudo de funções e cálculo de extremos.
- Conhecer a noção de integral duplo e triplo e saber calcular estes integrais usando as coordenadas mais adequadas.
- Conhecer algumas aplicações dos integrais duplo e triplo.
- Conhecer a noção de integral de linha, suas aplicações e respectivos resultados fundamentais.
- Conhecer a noção de integral de superfície, aplicação ao cálculo do fluxo e respectivos resultados.
Caracterização geral
Código
10476
Créditos
6.0
Professor responsável
Marta Cristina Vieira Faias Mateus
Horas
Semanais - 8
Totais - 70
Idioma de ensino
Português
Pré-requisitos
Cálculo diferencial e integral em R. Rudimentos de cálculo matricial.
Bibliografia
H. Anton, I. Bivens, S. Davis, Cálculo, volume 2, 8ª edição, Bookman, Porto Alegre, 2007.
G. E. Pires, Cálculo diferencial e integral em Rn, IST Press, Lisboa, 2012.
Método de ensino
As aulas teóricas consistem em exposição da matéria, que é ilustrada com exemplos de aplicação.
As aulas práticas consistem na resolução de exercícios de aplicação dos métodos e resultados apresentados nas aulas teóricas. Estes exercícios são escolhidos numa lista fornecida pelos docentes.
Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor.
Método de avaliação
1 - Frequência
Frequência
Estão dispensados de frequência os alunos com duas ou mais inscrições na unidade curricular ou que tenham algum dos estatutos especiais previstos por lei.
Será concedida Frequência a qualquer aluno de primeira inscrição na unidade curricular que não falte injustificadamente a mais do que 1/3 das aulas práticas presenciais lecionadas, correspondentes ao turno em que se encontra inscrito no CLIP.
2 - Avaliação Contínua
A Avaliação Contínua da unidade curricular é efetuada com recurso a:
1) Avaliação Teórico-Prática: Dois testes escritos presenciais, cada um com duração de uma hora e meia, a realizar durante o semestre.
2) Avaliação Sumativa: A avaliação sumativa consiste na realização de 4 mini-testes no moodle.
Ao primeiro (t1) e ao segundo (t2) teste será atribuída uma classificação entre 0 e 20 valores. À componente de Avaliação Sumativa (p) será atribuída uma classificação entre 0 e 1 valores e consiste na média dos três melhores resultados dos quatro mini-testes. Um aluno que cumpra o critério de Frequência acima explicitado, terá uma classificação final por Avaliação Contínua igual a máximo{0.475( t1 + t2) + p , 0.5(t1+t2)}.
O aluno obterá aprovação na unidade curricular se esta classificação for superior ou igual a 10 valores. Caso contrário, o aluno terá reprovado por Avaliação Continua à unidade curricular.
3 – Época de Recurso
Os alunos reprovados por Avaliação Contínua, que tenham obtido Frequência à unidade curricular ou que dela tenham sido dispensados, podem apresentar-se a uma prova complementar, adiante designada por Exame, a realizar na época de recurso.
O Exame consiste numa prova escrita, com duração de 3 horas, que avalia a totalidade dos conteúdos lecionados na unidade curricular. A prova está dividida em duas partes, E1 e E2, cuja matéria avaliada corresponde, respetivamente, à avaliada nos 1º e 2º testes.
Ao Exame será atribuída uma classificação (E) entre 0 e 20 valores, sendo a classificação final do aluno igual a máximo{0.95 E+ p , 0.5 E}, em ambos os casos arredondada às unidades.
O aluno obterá aprovação na unidade curricular se esta classificação for superior ou igual a 10 valores. Caso contrário, o aluno terá reprovado à unidade curricular.
Em alternativa, o aluno pode realizar apenas uma das partes do Exame, E1 ou E2, cuja duração será nesse caso igual à dos testes (1h e 30m). A obtenção de aprovação à unidade curricular e a determinação da respetiva classificação final seguirá neste caso as regras de aprovação por Avaliação Contínua, substituindo-se a classificação do teste repetido pela nova classificação e mantendo-se inalteradas as restantes.
Ao inscreverem-se para a realização do Exame, os alunos devem indicar que tipo de avaliação pretendem efetuar (E, E1 ou E2).
4 - Defesa de Nota
Todos os alunos com uma classificação final superior ou igual a 18 valores podem, caso o desejem, apresentar-se a uma prova de defesa de nota. A não realização desta prova implica uma classificação final de 17 valores à unidade curricular.
5 - Melhoria de Classificação
Os alunos aprovados na unidade curricular podem requerer, mediante o cumprimento de todas as disposições impostas pela FCT NOVA, Melhoria de Classificação.
Se tiverem obtido aprovação à unidade curricular no presente semestre, na altura de inscrição para a prova, podem optar por realizar E, E1 ou E2, sendo a sua classificação provisória determinada tal como no caso dos alunos que estão a tentar a aprovação.
No caso de não terem obtido aprovação à unidade curricular no presente semestre, devem realizar o Exame na totalidade. A sua classificação provisória será igual à nota de Exame (arredondada às unidades).
6 - Logística
Com o objetivo de racionalizar os recursos da FCT NOVA (instalações, pessoal docente e pessoal não docente), apenas se podem apresentar a cada um dos testes da Avaliação Contínua e ao Exame os alunos devidamente inscritos para o efeito através da página CLIP da unidade curricular. Devem ainda apresentar-se munidos de um caderno de prova em branco, material de escrita e documento de identificação oficial, com fotografia recente.
Conteúdo
1. Revisão de alguns conceitos de Geometria Analítica
1.1.Cónicas.
1.2.Quádricas.
2.Limites e Continuidade em Rn
2.1.Noções Topológicas em Rn.
2.2.Funções Vetoriais e Funções de Várias Variáveis Reais: Domínio, Gráfico, Curvas e Superfícies de Nível.
2.3.Limite e Continuidade de Funções de Várias Variáveis Reais.
3. Cálculo Diferencial em Rn
3.1.Derivadas Parciais e Teorema de Schwarz.
3.2.Derivada segundo um vetor. Matriz Jacobiana. Vetor Gradiente e noção de Diferenciabilidade.
3.3.Diferenciabilidade da Função Composta. Teorema de Taylor. Teorema de Função Implícita e Teorema da Função Inversa.
3.4.Extremos Relativos. Extremos Condicionados e Multiplicadores de Lagrange.
4. Cálculo Integral em Rn
4.1.Integrais Duplos. Integrais Iterados e Teorema de Fubini. Mudança de variável em Integrais Duplos. Integrais Duplos cm Coordenadas Polares. Aplicações.
4.2.Integrais Triplos. Integrais Iterados e Teorema de Fubini. Mudança de variável em Integrais Triplos. Integrais Triplos em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas. Aplicações.
5. Análise Vetorial
5.1.Campos Vetoriais: Gradiente, Divergência e Rotacional. Campos Fechados. Campos Conservativos. Aplicações.
5.2.Formalismo das Formas Diferenciais. Integrais de Linha de Campos Escalares e de Campos Vetoriais. Teorema Fundamental para Integrais de Linha. Teorema de Green. Aplicações.
5.3.Integrais de Superfície de Campos Escalares. Fluxo de um Campo Vetorial através de uma Superfície. Teorema de Stokes e Teorema de Gauss-Ostrogradsky. Aplicações.
Cursos
Cursos onde a unidade curricular é leccionada: