Análise Matemática I

Caracterização geral

Pré-requisitos

Os aluno deve dominar os conteúdos programáticos de Matemática A do Ensino Secundário português.

Bibliografia

A disciplina dispõe de um texto de apoio disponibilizado no CLIP. Além deste, recomendamos ao aluno a consulta dos seguintes textos:

 

Alves de Sá, A. e Louro, B., Cálculo Diferencial e Integral em ℝ

Alves de Sá, A. e Louro, B., Cálculo Diferencial e Integral em ℝ, Exercícios Resolvidos, Vol. 1,2,3

Anton, Bivens and Davis, Calculus ed Wiley.

Campos Ferreira, J., Introdução à Análise Matemática, ed Fundação Calouste Gulbenkian.

Lages de Lima, E., Curso de Análise Vol 1, ed IMPA (projeto Euclides)

 Rudin, Principles of Mathematical Analysis, ed Mac Graw Hill

Nota 1: Para o aluno interessado na história dos conceitos leccionados na disciplina, recomendamos

Hairer E. Wanner G. Analysis by Its History, Springer. 

Bento de Jesus Caraça, Conceitos Fundamentais da Matemática.

Nota 2: O Aluno poderá praticar os exercícios de testes e exames de edições anteriores da disciplina disponíveis no CLIP.

Método de ensino

Método de ensino baseado na leccionção de aulas teóricas (em regime on-line), aulas práticas (1h em regime presencial, 2h em regime on-line) e em sessões de atendimento on-line («horários de apoio») para esclarecimento de dúvidas. 

Método de avaliação

1-Frequência

A disciplina de Análise Matemática 1 está sujeita a regime de frequência (com excepção dos casos previstos no regulamento da FCT e em deliberações do Conselho Pedagógico). Os alunos de primeiro ano devem frequentar pelo menos 2/3 dos turnos presenciais. O registo da frequência é realizado pelo professor responsável do turno frequentado pelo aluno.

 

2-Modelo avaliativo

a)      Avaliação contínua.

 

O modelo de avaliação contínua consiste na realização de dois testes, de 1h30m, em regime presencial. O aluno é aprovado se a média aritmética dos dois testes for superior ou igual a 9,5 valores.

 

Os alunos que o pretendam -aprovados ou não após a realização dos dois testes- poderão melhorar um, e apenas um, dos testes na data do exame de época normal. Esta opção não requer qualquer pagamento, necessitando apenas de uma inscrição via CLIP.

 

(NOTA: O aluno já aprovado que opte por fazer melhoria por exame deverá requerer junto do professor responsável de AM1 o lançamento de nota e proceder à inscrição em melhoria no CLIP, com pagamento do respectivo emolumento.)

 

b)      Avaliação por exame presencial, com duração de 2h30m, sendo o aluno aprovado se a nota de exame for superior ou igual a 9,5 valores.

 

Importante: Caso seja necessário proceder a uma avaliação por testes ou exame em regime não presencial, a avaliação contínua ou por exame terão de ser validados por uma prova oral, realizada on-line com câmara ligada. Apenas sob indicação expressa do professor do turno prático, poderá o aluno ser dispensado da prova oral.

 

 

Conteúdo

1. Topologia elementar da recta real.

1.1 Vizinhança de um ponto. Ponto interior, exterior, fronteiro, isolado, aderente e de acumulação.

1.2 Conjunto aberto, fechado, limitado e compacto.

 

2. Indução Matemática e Sucessões

2.1 Princípio de Indução Matemática.

2.2 Noção de convergência e limite de uma sucessão. Álgebra de limites. Subsucessões. Sublimites. Teoremas Fundamentais. Sucessões de Cauchy. 

3. Limites e Continuidade em R

3.1 Limite de uma função segundo Cauchy e segundo Heine. Álgebra de limites.

3.2 Continuidade de uma função num ponto. Prolongamento por continuidade. Teorema de Bolzano e Teorema de Weierstrass. Continuidade da função composta. Continuidade da função inversa para a composição de funções. Funções inversas clássicas.

4. Cálculo Diferencial em R

4.1 Definição de diferenciabilidade num ponto. Interpretação geométrica. Derivada de uma função. Derivada da função composta e derivada da função inversa. Teorema de Rolle, Teorema de Lagrange. Derivada e monotonia. Teorema de Darboux e Teorema de Cauchy. Regra de L''''Hospital-Cauchy.

4.2 Teorema de Taylor e aplicações.

5. Cálculo Integral em R

5.1 Primitivas. Primitivação por partes. Primitivação por substituição. Primitivação de funções racionais. Primitivação de funções irracionais e de funções transcendentes.

5.2 Integral de Riemann. Teorema do valor médio. Teorema Fundamental do Cálculo Integral. Regra de Barrow. Integração por partes e integração por substituição. Aplicação ao cálculo de áreas. 

5.3 Integrais impróprios. 

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: