Análise Matemática IV B

Caracterização geral

Pré-requisitos

Análise Matemática I, II e III; Álgebra Linear

Bibliografia

Texto disponíbilizado aos alunos pelo docente e disponível no Clip.

Outros textos

Textos básicos.

Material na internet: Vilatte, Jaime, Equações diferenciais e equações de diferenças, FEUP http://villate.org/doc/eqdiferenciais/eqdif_20110426.pdf

Apostol, T.M., Calculus, Volume I and Volume II, Blaidsell Publishing Company.

Howard, Anton, Calculus: A New Horizon, John Wiley and Sons.

Taylor, A.E., Man, W.R., Advanced Calculus, John Wiley and Sons.

Stewart, J. Cálculo, Thomson Learning.

Ferreira, M. A. e Amaral, I, Matemática, Integrais míltiplos, equações diferenciais, Edições Síabo

Algumas referências extra:

Pontos 7, 8 e 10. Butkov, E. Mathematical Physics.

Ponto 9. The Mathematics of Medical Imaging: A Beginner''''s Guide, Timothy G. Feeman, Springer

Método de ensino

Aulas teóricas (3hs por semana, online), aulas práticas presenciais (1h por semana, para alunos de primeira inscrição), aulas práticas online (1h por semana, todos os aluno). Texto, exercícios e material extra para estudo individualizado.

Método de avaliação

Não haverá registo de presenças.

A componente contínua da avaliação consiste de dois testes (T1 e T2), sendo que o segundo teste deve ter nota mínima 7.

Se T2=9.5, então MF=9.

Caso contrário MF=(T1+T2)/2.

A nota final consiste no arrendondamento ao inteiro mais próximo de MF. (n.5 é arrendodado a n+1).

Para quem não for aprovado na avaliação contínua, é possível fazer um exame de recurso. O exame de recurso é feito sobre toda o programa da UC.

Conteúdo

1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO)
 
1.1- Equações diferenciais de primeira ordem: campo de direcções associado a uma EDO de 1ª ordem; curvas integrais do campo e soluções. Alguns resultados de existência e unicidade de soluções: os teoremas de Picard e de Peano. Noção de solução implícita de uma equação diferencial. Equações autónomas e soluções de equilíbrio. Equações lineares, separáveis e de Bernoulli. Equações exactas e noção de factor integrante.
 
1.2- Equações diferenciais de segunda ordem. Caso das equações homogéneas: polinómio característico e base do espaço vectorial solução. Generalização ao caso de equações diferenciais lineares homogéneas de ordem n>=3. Determinante Wronskiano e noção de independência linear de uma família de funções; estrutura afim do conjunto de soluções de uma EDO linear de 2ª ordem. Método de d''''''''Alembert. Método de variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados. Noção de ressonância.
 
1.3- Resolução de equações diferenciais ordinárias através do uso de séries de potências. Resolução de equações diferenciais ordinárias através do uso de funções de Bessel, de Lagrange e de Hermite.
 
1.4- Sistemas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes: generalidades e estrutura das soluções. Base do espaço vectorial solução; relação entre o espectro do sistema linear associado e a estabilidade das soluções de equilíbrio.
 
2. TRANSFORMADA DE LAPLACE
 
2.1- Definição. Transformada de Laplace das funções usuais: polinómios, exponencial e funções trigonométricas.
 
2.2- Efeito na transformada de Laplace da multiplicação por uma exponencial e por uma função linear. Transformada de Laplace da derivada de uma função e da função trasladada.
 
2.3- Transformada de Laplace da função de Heaviside e da distribuição de Dirac.
 
2.4- Transformada de Laplace e convolução. Transformada de Laplace inversa.
 
2.5- Aplicações à resolução de equações diferenciais lineares.
 
3. EQUAÇÕES COM DERIVADAS PARCIAIS (EDP)
 
3.1- Decomposição em série de Fourier de uma função periódica: generalidades sobre funções periódicas; modos sin(2 Pi t/n) e cos(2 Pi t/n); a série de Fourier associada a uma função periódica suficientemente regular; condições suficientes de igualdade entre uma função e a respectiva série de Fourier; pontos de descontinuidade e fenómeno de Gibbs. Decomposição de uma função regular em série de senos/co-senos num dado intervalo.
 
3.2- Aplicações das séries de Fourier às EDP: generalidades sobre EDP; método de separação de variáveis. Aplicações ao caso parabólico (equação do calor), hiperbólico (equação das ondas) e elíptico (equação de Laplace).
 
4. TRANSFORMADA DE FOURIER
 
4.1- Definição. Propriedades elementares da transformada de Fourier. Transformada de Fourier inversa. Aplicações à resolução de equações diferenciais lineares.
 
5. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DAS VARIAÇÕES
 
5.1- Introdução. Definição de funcional e de Lagrangiano. Lema fundamental do cálculo das variações e equações de Euler-Lagrange.
 
5.2- Exemplos clássicos do cálculo das variações: curvas geodésicas, lei de Snell-Descartes, curva catenária, problema braquistócrono, problema isócrono. Aplicações.
 
6. INTRODUÇÃO À TRANSFORMADA DE RADON
 
6.1- Definição de transformada de Radon. Aplicações.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: