Teoria das Distribuições

Objectivos

No final desta unidade curricular, o estudante terá adquirido conhecimentos, aptidões e competências que lhe permitam:

-Conhecer e utilizar fluentemente as propriedades, resultados e procedimentos elementares da teoria das

distribuições;com vista à sua aplicação a equações diferenciais.

-Compreender a topologia dos espaços de distribuições e aplicá-la aos diferentes conceitos de convergência de uma

sucessão de funções.

-Diferenciar distribuições e estabelecer a relação entre este tipo de diferenciação e a diferenciação no sentido clássico.

-Conhecer a noção de operador diferencial e de solução fundamental.

-Aplicar a transformada de Fourier a distribuições temperadas e conhecer as suas principais propriedades;

Caracterização geral

Código

10850

Créditos

6.0

Professor responsável

José Maria Nunes de Almeida Gonçalves Gomes

Horas

Semanais - A disponibilizar brevemente

Totais - 56

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Conhecimentos sólidos de cálculo diferencial e integral em Rn. Noções básicas de topologia e Análise Funcional. Conhecimento do Integral de Lebesgue e de resultados fundamentais de Teoria de Medida. 

Bibliografia

1.F. Friedlander and M. Joshi, Introduction to the Theory of distributions;

2.A. Kolmogorov and V. Fomin, Introductory real analysis;

3.W. Rudin, Functional Analysis;

4.R. Strichartz, A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms;

e ainda:

5.L. Evans and M. Gariepy; Measure Theory and Fine Properties of Functions;

5.L. Schwartz, Théorie des Distributions;

6.L. Schwartz, Méthodes Mathématiques pour les Sciences Physiques.

7.Yosida, Functional Analysis.

Método de ensino

Aulas teórico práticas complementadas com horário de discussão de problemas.

Método de avaliação

Avaliação por exame final.

Conteúdo

1. Pequeno Apontamento Histórico.

Diferenciação de funções não regulares.

2. Preliminares.

Espaços de Fréchet; Espaços Ck e C^{\infty}; Limites indutivos topológicos e o espaço das funções teste.

3. Espaço das distribuições.

Formas lineares contínuas; Funções localmente integráveis.

4. Convergência de sucessões de distribuições;Topologia fraca e fraca *; Caracterizaçãoda convergência de distribuições e

propriedades fundamentais.

5. Diferenciação no espaço das distribuições.

Operadores diferenciais: noção de solução fundamental; convolução de Distribuições;Produto de convolução; Propriedades

gerais do produto de convolução de distribuições.

6. O espaço das distribuições temperadas.

Funções regulares de decrescência rápida e passagem ao dual; Os espaços Lp enquanto distribuições temperadas;

Transformada de Fourier de uma distribuição temperada e propriedades.

7. Aplicação: Espaços de Sobolev.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: