Topologia Geral

Objectivos

O objectivo desta unidade curricular é dotar os alunos de conhecimentos de Topologia Geral,  ilustrados com numerosos exemplos explícitos, servindo também como uma introdução à Topologia Algébrica e à Teoria da Homotopia.
Os alunos deverão entender e saber demonstrar os resultados fundamentais sobre espaços topológicos, funções contínuas, compacidade, conexidade e axiomas de separação/ numerabilidade. Na área de Topologia Algébrica, os alunos farão uma aprendizagem do conceito de grupo fundamental de um espaço topológico, e do seu cálculo em casos simples, resultando do Teorema de van Kampen ou da passagem a espaços de revestimento, bem como da aplicação do grupo fundamental aos teoremas de separação no plano. Havendo tempo, é também um objectivo da unidade curricular abordar os teoremas de  classificação das superfícies compactas e dos espaços de revestimento. 

Caracterização geral

Código

11585

Créditos

6.0

Professor responsável

João Pedro Bizarro Cabral

Horas

Semanais - 4

Totais - 56

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Análise em Rn. Noções gerais de Algebra Linear.

Noções gerais sobre espaços métricos.

Noções gerais de Álgebra Geral: relações de equivalência, grupos, anéis,  homomorfismos e isomorfismos.

Bibliografia

James R. Munkres: Topology. Prentice Hall (2000)

Armstrong, Mark Anthony: Basic topology. Corrected reprint of the 1979 original. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983.

Gamelin, Theodore W.; Greene, Robert Everist: Introduction to topology. Second edition. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 1999.

Hatcher, Allen: Algebraic topology.  Cambridge University Press, Cambridge,2002.

Teresa Monteiro Fernandes. Topologia algébrica e Teoria Elementar dos Feixes. Textos em Matemática, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa

Método de ensino

A unidade curricular funcionará  com 3 horas semanais de aulas teorico-práticas e 1 hora de apoio/dúvidas em sala de aula. A aprendizagem autónoma dos alunos centrar-se-á na resolução de séries avançadas de exercícios, alguns contendo provas de resultados fundamentais. 

Método de avaliação

A avaliação de conhecimentos é realizada através de Avaliação Contínua ou Exame de Recurso, presenciais. A Avaliação Contínua é composta por dois testes e nota da avaliação em aula.

 Avaliação em Aula (AEA)

Para cada semana, será disponibilizado antecipadamente uma lista de exercícios propostos para os alunos trabalharem antes na componente prática. Nas aulas dedicadas a prática, os alunos fazem apresentações com base nesse trabalho, sendo no final do semestre atríbuido uma nota de 0,1 ou 2 valores a cada aluno.

 Avaliação Contínua

É proibido utilizar máquinas de calcular gráficas, ou quaisquer instrumentos de suporte de cálculo durante momentos de avaliação.

Ao longo do semestre serão realizados dois testes com duração de 1 hora 30 minutos. Cada teste tem classificação até um máximo de 20 valores.

Seja CT a média aritmética simples dos dois testes arredondada às unidades e NF o mínimo entre 20 e CT+AEA. O aluno obtém aprovação à cadeira se NF≥10. Se NF≤16, o aluno fica aprovado com a classificação final NF . Se NF≥17, o aluno pode optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

Exame de Recurso 

É proibido utilizar máquinas de calcular gráficas, ou quaisquer instrumentos de suporte de cálculo durante momentos de avaliação.

Podem apresentar-se a exame de recurso todos os alunos inscritos na disciplina que não tenha obtido aprovação na avaliação contínua. Os alunos podem optar por repetir um dos testes de 1 hora e 30 minutos. Se o aluno optar por repetir um dos testes, a classificação é calculada tal como no caso da avaliação contínua. Se o aluno realizar o exame de recurso, seja  ER a classificação do exame, arredondada às unidades, e NR o mínimo entre 20 e ER+AEA. O aluno obtém aprovação à cadeira se NR≥10. Se NR≤16, o aluno fica aprovado com a classificação final NR . Se NR≥17, o aluno pode optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

Melhoria de nota

É proibido utilizar máquinas de calcular gráficas, ou quaisquer instrumentos de suporte de cálculo durante momentos de avaliação.

Os alunos têm direito de efetuar melhoria de nota, mediante inscrição nos prazos fixados, na época de recurso. Nesse caso, poderão efetuar o Exame de 3 horas ou repetir um dos Testes de 1 hora 30 minutos como descrito na alínea anterior. No caso em que um aluno faz melhoria tendo obtido aprovação num semestre anterior, só poderá efetuar o Exame de 3 horas.

Logística
Com o objetivo de racionalizar os recursos da FCT (instalações, pessoal docente e pessoal não docente), só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que se inscrevam para o efeito através do CLIP, no decurso do período aí estipulado.

Se na época de recurso o aluno optar por repetir um dos testes deve inscrever-se para este caso contrário realizará exame de recurso.

Só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que, no ato da prova, sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão, Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante) e caderno de exame em branco.

Considerações finais

Em qualquer situação omissa, aplica-se o Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa.

Conteúdo

1)Espaços topológicos. Base e sub-base. Funções contínuas. Homeomorfismos. Propriedades topológicas.

2)Conexidade. Conexidade por arcos. Componentes.

3)Compacidade. Lema da sub-base. Produtos de espaços topológicos. Teorema de Tychonoff. Compacidade em espaços métricos. Números de Lebesgue. Compacidade local.

4)Axiomas de numerabilidade. Axiomas de separação. Lema de Urysohn. Teorema da extensão de Tietze.

5)Topologia quociente.

6)Homotopia entre curvas. Grupo fundamental. Independência do ponto base. Grupo fundamental da esfera. Categorias e functores. Equivalência de homotopia. Functorialidade do grupo fundamental. Coberturas. Levantamento de curvas e de homotopias. O grupo fundamental da circunferência e do plano projectivo. Teorema do ponto fixo de Brouwer. Aplicações.

Tópicos adicionais: Espaços de funções. Espaços de Baire. Classificação de superfícies. Classificação de coberturas.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: