Equações com Derivadas Parciais

Caracterização geral

Pré-requisitos

Conhecimentos de Análise Funcional e Teoria da Medida.

Bibliografia

1. L.C. Evans, Partial Differential Equations. American Mathematical Society.
2. H. Brezis, Analyse Fonctionnelle: théorie et applications. Masson.
3. D. Gilbarg & N. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Springer.
4. J.-L. Lions & E. Magenes, Nonhomogeneous boundary value problems and Applications, vol.I , vol. lI III. Springer

Método de ensino

A disponibilizar brevemente

Método de avaliação

1. Avaliação

Observações:

• Todas as provas são classificadas de 0 a 20 valores.
• O aluno obtém aprovação à cadeira se a nota final, NF, for maior ou igual a 9.5 valores.
• No acto da prova escrita o aluno terá que ser portador do seu Bilhete de Identidade/Cartão de Cidadão e/ou do seu cartão de Estudante.
• Nas parcelas de cada uma das fórmulas abaixo será considerado arredondamento às centésimas.
• A avaliação da cadeira de Equações com Derivadas Parciais consiste na realização de um teste com a duração de 2 horas, ou através de Exame, com a duração de 3 horas.
• Adicionalmente à prova referida anteriormente, todos os alunos devem realizar um conjunto de exercícios que serão dados ao longo do semestre e uma apresentação oral de um tema (que conste do programa da Unidade Curricular) proposto pelo docente. As notas dos trabalhos anteriores têm um peso na nota final.

1.1 Avaliação contínua

A avaliação durante o semestre consiste na realização de um teste, uma lista de exercícios que são disponibilizados durante o semestre e uma apresentação oral de um tema (que conste do programa da Unidade Curricular) proposto pelo docente

Podem apresentar-se ao teste todos os alunos inscritos na disciplina que tenham FREQUÊNCIA.

1. Se o aluno desistir ou não comparecer no  teste a classificação no teste será de 0 valores.
2. Se o aluno não entregar uma lista de exercícios a classificação dessa lista de exercícios será de 0 valores.
3. Se o aluno não efetuar a apresentação oral a classificação nesse item de avaliação será de 0 valores.
4. O aluno obtém a classificação NF=0.35× NEs a +0.25×AO+0.40×NT, onde  NT designa a classificação obtida no teste, NEs a média aritmética da classificação dos exercícios dados ao longo do semestre e AO a classificação da apresentação oral do tema proposto.  
5. Se NF≤9.4 valores o aluno reprova.
6. Se NF≥9.5 valores o aluno obtém como classificação final NF arredonda às unidades.

1.2 Época de Recurso

Pode apresentar-se a exame de recurso todo o aluno ainda não aprovado na disciplina que tenha FREQUÊNCIA

1. Se a classificação no exame, NE, for inferior a 9.4 valores o aluno reprova.
2. Se a classificação no exame for igual ou superior a 9.5 valores a nota final do aluno é NF=max{NE, 0.35× NEs a +0.25×AO+0.40×NE }.
3. A classificação final será obtida de modo idêntico à da Avaliação contínua.

1.3 Melhoria de nota

Todo o aluno que pretenda efetuar melhoria de nota deve inscrever-se, para esse efeito, na Repartição Académica. A classificação de exame de melhoria de nota é efetuada de modo análogo ao da Época de Recurso, caso o aluno faça a melhoria no ano em que elaborou os restantes itens de avaliação. Caso contrário a classificação resume-se à classificação obtida no Exame de Recurso.

 Se o resultado for superior ao já obtido na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota

Conteúdo

1.      As equações com derivadas parciais, lineares, clássicas

1.1.   A equação de Laplace

1.1.1.Solução fundamental: a equação de Poisson; fórmulas do valor médio.

1.1.2.Propriedades das funções harmónicas: princípio do máximo forte; unicidade; regularidade; estimativas locais; teorema de Liouville; analiticidade; desigualdades de Harnack’s.

1.1.3.A função de Green: casos de um semi-espaço e de uma bola.  

1.1.4.Métodos de energia: o princípio de Dirichlet.

1.2.   A equação do calor

1.2.1.Solução fundamental: problema de valor inicial; problema não homogéneo; formula do valor médio.

1.2.2.Propriedades das soluções: princípio do máximo forte; unicidade; regularidade; estimativas locais.  

1.2.3.Métodos de energia.

1.3.   A equação das ondas

1.3.1.Resolução usando medias esféricas: a fórmula de Alembert; as fórmulas de  Kirchhoff e Poisson.

1.3.2.O problema não homogéneo.

1.3.3.Métodos de energia.

2.      Espaços de Sobolev

2.1.   Espaços de Sobolev : derivadas distribucionais; Propriedades elementares.

2.2.   Aproximação por funções regulares

2.3.   Teorema de prolongamento

2.4.   Teorema de traço

2.5.   Desigualdades de Sobolev

2.6.   Compacidade

2.7.   Desigualdade de Poincaré

2.8.   A transformada de Fourier

3.      Equações elípticas de segunda ordem

3.1.   Definições

3.2.   Existência de soluções fracas: o teorema de Lax-Milgram ; estimativas de energia; a alternativa de Fredholm.

3.3.   Regularidade

3.4.   Princípios do máximo. A desigualde de Harnack.Maximum principles

3.5.   Valores póprios e funções próprias.

4.      Problemas de evolução lineares

4.1.   Equações parabólicas de segunda ordem

4.1.1.Definições

4.1.2.Existência de soluções fracas of weak solutions

4.1.3.Regularidade

4.1.4.Princípios do máximo

4.2.   Equações hiperbólicas de segunda ordem

4.2.1.Definições

4.2.2.Existência de soluções fracas

4.2.3.Regularidade

4.2.4.Propagação das perturbações

4.2.5.Teoria de semigrupos

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: