Análise Matemática III B

Caracterização geral

Pré-requisitos

Os pré-requisitos consistem nos conceitos básicos de cálculo a uma e mais variáveis, leccioonadas nas disciplinas de Análise Matemática I e II.

Bibliografia

SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. - Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science - 3rd Edition, Pearson Education, 2003.

J. E. Marsden and M. J. Hoffman, Basic Complex Analysis - Third Edition, Freeman (1999).

L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill (1979).

Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Complex Analysis, Princeton Lectures in Analysis (2003),
N. H. Asmar and L. Grafakos, Complex Analysis with Applications, Springer (2018).

Método de ensino

Método de ensino baseado na leccionação de aulas teóricas e aulas práticas, apoiadas com horários de atendimento

Método de avaliação

Frequência

Estão dispensados de frequência os alunos com duas ou mais inscrições na unidade curricular ou que tenham algum dos estatutos especiais previstos por lei.

Será concedida Frequência a qualquer aluno de primeira inscrição na unidade curricular que não falte injustificadamente a mais do que 1/3 das aulas práticas presenciais lecionadas, correspondentes ao turno em que se encontra inscrito no CLIP.

As justificações devem ser entregues ao docente do turno em que o aluno se encontra inscrito no CLIP, no prazo máximo de 14 dias a contar da primeira presença (no turno em que o aluno se encontra inscrito no CLIP) após as faltas a que a justificação se refere. Caso o período consecutivo de faltas se prolongue após o final das aulas, esta deverá ser entregue até ao final do dia da prova de avaliação a que o aluno se apresente (teste ou exame de recurso).

A avaliação de conhecimentos é realizada através de Avaliação Contínua ou Exame de Recurso, presenciais. A Avaliação Contínua é composta por dois testes e nota da avaliação em aula.

 Avaliação em Aula (AEA)

Para cada semana, será disponibilizado antecipadamente uma lista de exercícios propostos para os alunos trabalharem antes das aulas práticas (quer presenciais, quer online). No final do semestre, o docente da aula prática em que o aluno se encontra inscrito no CLIP irá atribuir uma nota de 0 ou 1 valor, com base no trabalho efetuado pelo aluno sobre a lista de exercícios proposta ao longo do semestre.

 Avaliação Contínua

É proibido utilizar máquinas de calcular gráficas, ou quaisquer instrumentos de suporte de cálculo durante momentos de avaliação.

Ao longo do semestre serão realizados dois testes com duração de 1 hora 30 minutos. Cada teste tem classificação até um máximo de 20 valores.

 1º Teste: podem apresentar-se ao 1º teste todos os alunos inscritos na disciplina.

  2º Teste: podem apresentar-se ao 2º teste todos os alunos inscritos na disciplina que tenham obtido frequência ou estejam dispensados desta.

Seja CT a média aritmética simples dos dois testes arredondada às unidades e NF o mínimo entre 20 e CT+AEA. O aluno obtém aprovação à cadeira se NF≥10. Se NF≤16, o aluno fica aprovado com a classificação final NF. Se NF≥17, o aluno pode optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

Exame de Recurso 

É proibido utilizar máquinas de calcular gráficas, ou quaisquer instrumentos de suporte de cálculo durante momentos de avaliação.

Podem apresentar-se a exame de recurso todos os alunos inscritos na disciplina que tenham obtido Frequência ou estejam dispensados desta, e que não tenha obtido aprovação na avaliação contínua. Os alunos podem optar por repetir um dos testes de 1 hora e 30 minutos. Se o aluno optar por repetir um dos testes, a classificação é calculada tal como no caso da avaliação contínua. Se o aluno realizar o exame de recurso, seja  ER a classificação do exame, arredondada às unidades, e NR o mínimo entre 20 e ER+AEA. O aluno obtém aprovação à cadeira se NR≥10. Se NR≤16, o aluno fica aprovado com a classificação final NR . Se NR≥17, o aluno pode optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

Melhoria de nota

É proibido utilizar máquinas de calcular gráficas, ou quaisquer instrumentos de suporte de cálculo durante momentos de avaliação.

Os alunos têm direito de efetuar melhoria de nota, mediante inscrição nos prazos fixados, na época de recurso. Nesse caso, poderão efetuar o Exame de 3 horas ou repetir um dos Testes de 1 hora 30 minutos como descrito na alínea anterior. No caso em que um aluno faz melhoria tendo obtido aprovação num semestre anterior, só poderá efetuar o Exame de 3 horas.

Logística
Com o objetivo de racionalizar os recursos da FCT (instalações, pessoal docente e pessoal não docente), só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que se inscrevam para o efeito através do CLIP, no decurso do período aí estipulado.

Se na época de recurso o aluno optar por repetir um dos testes deve inscrever-se para este caso contrário realizará exame de recurso.

Só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que, no ato da prova, sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão, Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante) e caderno de exame em branco.

Considerações finais

Em qualquer situação omissa, aplica-se o Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa.

Conteúdo

1. Séries

1.1 Séries numéricas

1.1.1 Convergência de Séries Numéricas. Condição Necessária de Convergência. Séries Telescópicas. Séries Geométricas.

1.1.2 Séries de termos não negativos. Critério do integral. Séries de Dirichlet. Critérios de comparação. Critério da Razão. Critério de d’Alembert. Critério da Raiz. Critério da Raiz de Cauchy. Critério de Kummer. Critério de Raabe.

1.1.3 Convergência simples e absoluta. Séries alternadas e Critério de Leibniz. Multiplicação de séries.

1.2 Séries de Funções

1.2.1. Sucessões de funções. Convergência pontual e convergência uniforme.

1.2.2 Séries de funções: convergência pontual e convergência uniforme. Critério de Weierstrass. Continuidade. Integrabilidade e diferenciabilidade termo a termo.

1.2.3 Séries de potências. Raio de convergência. Intervalo de convergência. Convergência uniforme. Integrabilidade e diferenciabilidade termo a termo.

1.2.4 Séries de Taylor e de MacLaurin.

2. Análise complexa

2.1 Generalidades sobre o corpo dos números complexos; conjugado, módulo e argumento; forma polar de um número complexo. Raízes n-ésimas de números complexos. Fórmulas de De Moivre.

2.2 Funções polinomiais de variável complexa. Função exponencial, funções trigonométricas circulares e hiperbólicas, ramo principal do logaritmo e funções trigonométricas inversas.

2.3 Limites e continuidade de funções complexas de variável complexa.

2.4 Funções Holomorfas. Equações de Cauchy-Riemann.

2.5 Integral de uma função complexa de variável complexa ao longo de uma curva seccionalmente regular.

2.6 Teorema de Cauchy. Fórmulas integrais de Cauchy

2.7 Funções analíticas. Séries de Taylor. Relação com as funções holomorfas.

2.8 Singularidades essenciais, polos e singularidades removíveis. Séries de Laurent.

2.9 Teorema dos resíduos. Aplicações ao cálculo dos integrais impróprios.

 

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: