Álgebra Linear II

Caracterização geral

Pré-requisitos

Conhecimentos correspondentes ao conteúdo da disciplina Álgebra Linear I (1º semestre-1º ano).

São também necessários conhecimentos sobre espaços vetoriais com produto interno. Os conceitos e resultados necessários constituem a primeira parte do progama da unidade curricular Geometria.

Bibliografia

1. Apostol, T. M., Linear Algebra – a first course with applications to differential equations, John Wiley & Sons, 1997.

2. Anton, H., e Rorres, C., Elementary Linear Algebra -  Applications Version, 9th Edition, John Wiley & Sons, 2005.

3. Friedberg, S.H., Insel, A. J., e Spence, L. E., Linear Algebra, 3^rd Ed., Prentice Hall, 1997.

4. Horn, R. A., e Johnson, C. R., Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985.

5. Leon, S. J., Linear Algebra with Applications, 7th Ed., Prentice Hall, 2006.

6. A. P. Santana, J. F. Queiró, Introdução à Álgebra Linear, Gradiva, 2010.

Método de ensino

Nas aulas teóricas é lecionada a matéria definida no programa, que é ilustrada com exemplos. São disponibilizadas, atempadamente, folhas de exercícios. Estes destinam-se a serem resolvidos pelos alunos, sendo a maior parte corrigida nas aulas práticas.

Método de avaliação

Álgebra Linear II 

Regras de Avaliação

1. Frequência

a)     Para obter frequência à disciplina é necessário que o aluno tenha assistido a pelo menos 2/3 das aulas práticas lecionadas.

b)    Estão dispensados da obtenção de frequência, no ano lectivo 2022/2023, os alunos que

 i. tenham um estatuto especial (trabalhador estudante, militar, etc.),

ii. tenham obtido frequência à disciplina no ano lectivo 2021/2022.

 2. Requisitos

a) Só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que se tenham inscrito no CLIP, dentro do prazo definido para o efeito, e que no ato da prova sejam portadores de um caderno de teste (em branco), do Cartão de Cidadão (ou Bilhete de Identidade) e do Cartão de Estudante válidos. 

b)     Para obter classificação na disciplina é necessário que o aluno tenha obtido frequência ou dela esteja dispensado. Os alunos que não satisfaçam uma destas duas condições estarão reprovados.

 3. Testes

Realizam-se dois testes durante o semestre.

a)     Podem apresentar-se aos testes todos os alunos inscritos na disciplina que estejam em condições de obter frequência ou dela estejam dispensados.

b)     Para obter a classificação dos testes (CT) é necessário que o aluno tenha obtido classificação não inferior a 7,5 no segundo teste.

c)      A classificação dos testes (CT) obtém-se do seguinte modo

 CT = 0,50*T1 + 0,50*T2  em que Ti, 1 ≤ i ≤ 2, é a classificação, não arredondada, obtida no teste i.

Se a CT (arredondada às unidades) for inferior 10 o aluno pode apresentar-se a exame. 
Se CT (arredondada às unidades) for superior, ou igual, a 10 e inferior a 18 o aluno fica aprovado com essa classificação. 
Se CT (arredondada às unidades) for superior, ou igual, a 18 o aluno estará sujeito a uma defesa de nota que poderá ser escrita ou oral. Caso o aluno não pretenda realizar a defesa de nota ficará aprovado com a classificação de 17 valores.

 4. Exame

 a)     Todo o aluno ainda não aprovado na disciplina e que tenha obtido frequência em 2021/2022 ou dela esteja dispensado pode apresentar-se a exame.

b)     Se a classificação, arredondada às unidades, for inferior a 10, o aluno reprova. 
 Se a classificação, arredondada às unidades, for superior, ou igual a 10 e inferior a 18 o aluno fica aprovado com essa classificação. Se a classificação for superior, ou igual, a 18 o aluno estará sujeito a uma defesa de nota que poderá ser escrita ou oral. Caso o aluno não pretenda realizar a defesa de nota ficará aprovado com a classificação de 17 valores.

 5. Exame de melhoria de nota

 a)     Todo o aluno que pretenda obter melhoria de nota deve cumprir, para esse efeito, as formalidades legais de inscrição.

b)     Para obter melhoria de nota, é necessário que o aluno se apresente a exame.

c)      A classificação é obtida de acordo com b) do ponto 4. Se este resultado for superior ao já obtido anteriormente na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.

6. Eventuais aspectos omissos serão decididos pela Responsável da disciplina.

Conteúdo

1. Valores e vectores próprios de endomorfismos e matrizes – Definições e propriedades. Subespaços próprios. Polinómio característico. Multiplicidades algébrica e geométrica. Diagonalização. Teorema de Cayley-Hamilton. Polinómio mínimo.

2. Endomorfismos de espaços vectoriais com produto interno (dimensão finita) -  Endomorfismo associado a um dado endomorfismo; endomorfismo normal, hermítico (simétrico), hemi-hermítico (anti-simétrico), unitário (ortogonal) e respectivas definições para matrizes quadradas. Endomorfismo definido positivo, semidefinido positivo, definido negativo, semidefinido negativo, indefinido e respectivas definições para matrizes. Relação entre os diferentes tipos de endomorfismos e as respectivas matrizes em relação a uma base ortonormada. Resultados fundamentais envolvendo estas noções, em particular, teoremas de Schur e espectral.

3. Forma canónica de Jordan e algumas consequências fundamentais.

 

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: