Probabilidades e Estatística I

Caracterização geral

Pré-requisitos

Os alunos deveram ter conhecimentos básicos ao nível da análise matemática (sucessões em progressão aritmética e geométrica, somatórios, séries, derivação  e integração).

Bibliografia

Coelho, C. A. (2008). Tópicos em Probabilidades e Estatística, Vol. I, Vol. II (Cap.^s 6,7).

Mood, A. M., Graybill, F. A. e Boes, D. C. (1974). Introduction to the Theory of Statistics, 3ª ed., J. Wiley & Sons, New York.

Montgomery, D. C. e Runger, G. C. (1998). Applied Statistics and Probability for Engineers, 2ª ed., J. Wiley & Sons, New York.

Ross, S. M. (1999). Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists. J Wiley & Sons, New York.

Murteira, B. J. F. (1990). Probabilidades e Estatística, Vol I, 2ª ed., McGraw-Hill Portugal, Lisboa.

Rohatgi, V. K. (1976). An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics. J. Wiley & Sons, New York.

Método de ensino

• 2 Aulas Teóricas semanais num total de 3 horas semanais, onde são expostos e analisados os conceitos e deduzidos os principais resultados e apresentados alguns exemplos.
• 1 Aula Prática semanal de 2 horas onde são resolvidos exercícios e problemas relativos à matéria apresentada nas Aulas Teóricas

Método de avaliação

1. Requisitos

Para poderem aceder à avaliação final da UC, tanto por testes como por Exame de Recurso, os alunos necessitarão de obter frequência de pelo menos 2/3 nas aulas práticas da UC.

 2. Avaliação

• A forma de avaliação recomendada consiste em 2 Testes:
• 1º Teste - peso: 50% 
• 2º Teste - peso: 50% (com nota mínima de 7 valores)
• Obterá aprovação todo o aluno que tiver uma classificação final de 9,5 valores ou mais.
• Os alunos que não tenham obtido uma classificação final de 9,5 valores, ou mais, através da realização dos testes acima, poderá submeter-se a Exame de Recurso.
• Os alunos com classificação superior a 17 valores deverão realizar uma prova oral de ‘defesa de nota’. Se não o fizerem ficarão com a classificação de 17 valores.

Conteúdo

1 – Cálculo Combinatório (breve revisão) 

2 – Teoria Elementar da Probabilidade

• Experiência aleatória e Espaço de resultados
• Evento e Espaço de eventos
• O conceito de Probabilidade. Propriedades das Probabilidades
• Probabilidade condicional e independência de eventos
  • Alguns resultados úteis e interessantes, envolvendo probabilidades condicionais
  • Independência condicional e Independência (marginal)
  • Odds e Odds ratio
  • Exemplo ilustrativo da razão de ser da definição de independência de mais de dois eventos
  • Exemplos de aplicação (da noção de probabilidade condicional, da fórmula de Bayes e dos Teoremas de Bayes e das Probabilidades Totais)
  • Os Lemas de Borel-Cantelli

3 – Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade

• Definição de variável aleatória. Exemplos
• Funções de distribuição de probabilidade de variáveis aleatórias. Propriedades. Quantis
• As funções de sobrevivência e risco – duas outras formas de representar a distribuição de uma v.a.
  • Dedução e estudo de uma função de risco
  • Funções de sobrevivência e risco para v.a.s discretas
• Valor esperado. Propriedades. Momentos. Algumas desigualdades importantes envolvendo momentos
• Funções geradoras de momentos e funções características
• A distribuição de Y = g(X)

4 – Distribuições conjuntas e distribuições condicionais de variáveis aleatórias

• Distribuição conjunta de duas ou mais variáveis aleatórias
• Momentos conjuntos e momentos marginais
• A função geradora de momentos conjunta
• Distribuições condicionais e independência
  • Momentos condicionais
  • O valor esperado condicional
  • Algumas notas adicionais sobre o valor esperado condicional
  • Independência de v.a.s
  • Consequências da independência
  • Outras distribuições condicionadas
  • As distribuições truncadas como casos particulares de distribuições condicionais
• Distribuições conjuntas de v.a.s de tipos diferentes
• A distribuição de (Y1, Y2) = g(X1,X2)
• As distribuições da Soma, Diferença, Produto e Quociente de duas v.a.s
• Misturas

5 – Variáveis aleatórias Discretas

• Distribuição Uniforme
• Distribuição Geométrica
• Distribuição Binomial Negativa
• Distribuição Bernoulli
• Distribuição Binomial
• Distribuição Hipergeométrica
• Distribuição Poisson

6 – Variáveis aleatórias Contínuas

• Distribuição Exponencial
• Distribuição Normal
• Distribuição Qui-quadrado
• Distribuição T
• Distribuição F
• Distribuição Gama

7 – Breve referência a variáveis aleatórias Multivariadas

• Distribuição Multinomial
• Distribuição Normal Multivariada

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: