Processos Estocásticos e Modelação

Objectivos

Aplicar os conceitos e propriedades de: série temporal estacionária, integrada, univariada, filtro aplicado a uma série aleatória estacionária, operador de deslocação retrógrado, operador de diferença inversa, raízes da equação característica de séries temporais, modelo autorregressivo multivariado.

Delinear os processos de identificação, estimação e diagnóstico, de uma série temporal, os critérios para escolha entre os modelos e os testes diagnósticos a aplicar aos resíduos. Desenvolver previsões determinísticas a partir de dados.

Formular as equações de Chapman-Kolmogorov, calcular a distribuição estacionária e aplicar as cadeias de Markov como uma ferramenta para modelação e simulação.

Aplicar os conceitos do processo de Wiener. Demonstrar compreensão prática das equações diferenciais estocásticas, do integral de Itô, do lema de Itô, sua demonstração e aplicação para estabelecer e resolver as equações diferenciais estocásticas de processos importantes; exemplo, reversão à média. 

Caracterização geral

Código

12456

Créditos

6.0

Professor responsável

Susana Maria Marques Henriques Botelho Baptista

Horas

Semanais - 3

Totais - 48

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

A disponibilizar brevemente

Bibliografia

Time Series Analysis and its applications- with R examples

Robert H Shumway and David S Stoffer

Springer Fourth Edition

 

Stochastic Processes

Parzen, E.

Holden Day, 1965

 

Stochastic Processes, 2nd Ed.

Ross, S. M.

Wiley & Sons, 1996

 

Stochastic Differential Equations

Oksendal, B.

Springer Sixth Edition

 

Statistical Inference for Diffusion Type Processes

Prakasa Rao, B.

Oxford University Press

Método de ensino

A metodologia é a clássica em Matemática no ensino superior. Exposição, exercícios e problemas, trabalhos práticos para aplicação a dados reais. Os conteúdos são apresentados e discutidos, procurando-se dar relevo às ideias, e técnicas, mais relevantes. Há materiais de estudo: livro de texto, notas de aula com exercícios, alguns resolvidos e, lista de questões teóricas que indicam claramente o que o aluno deve ter como objectivos de aprendizagem.  

Método de avaliação

 

1. AVALIAÇÃO CONTÍNUA

 A avaliação contínua é composta por 1 projecto e 2 testes, classificados numa escala de 0 a 20 valores. 

Sejam P, T 1 and T 2 as respectivas classificações do projecto, teste 1 e teste 2. O aluno obtém aprovação na UC se 

 0,25 × P  + 0,35×T 1  + 0,4×T 2  ≥ 9,5 .

 Nesse caso a classifificação final é definida como a média arredondada às unidades.  

 

2. EXAME

 Todos os alunos inscritos na UC podeme realizar exame. 

A classificação final é definida por: 

 CF= 0,25 × P  + 0,75 × E , sendo P a classificação do projecto e E a classificação do exame (escala de 0 a 20 valores).

Se a classificação CF  for superior ou igual a 9.5, o aluno obtém aprovação na UC e a nota é arredondada às unidades. 

 

 3. MELHORIA DE NOTA

Qualquer aluno que pretenda efectuar melhoria de nota terá de se inscrever no CLIP ( informações junto da Divisão Académica). 

A melhoria pode ser relativa apenas a um dos módulos lecionados: Séries Temporais ou Processos de Markov a Tempo Contínuo ou Processos de Difusão, correspondendo nesse caso e respectivamente, a realização de um trabalho ou realização de provas de exame. Pode ainda ser realizada melhoria a qualquer outra combinação de módulos. 

 A classificação da melhoria de nota é calculada de acordo com o ponto 2. Caso essa nota seja superior à anteriormente obtida, a classificação final será a de melhoria. Caso contrário, não existe alteração de nota. 

Conteúdo

1.Séries Temporais

1.1. Medidas; Estacionaridade; Estimação da correlação


1.2. Modelos AR; Modelos Ma; Modelos ARMA


1.3. Autocorrelação and Autocorrelação Parcial


1.4. Modelos ARIMA


1.5. Previsão

1.6 Representação Espectral ; Periodograma

1.7 VAR


2. Cadeias de Markov em tempo contínuo:


2.1. Processos de Markov homogéneos, equações de Kolmogorov


2.2. Probabilidades de Transição e Equação Chapman-Kolmogorov 


2.3. Distribução Estacionária


2.4. Processos de Markov Não-Homogéneos, Matriz de Intensidades, Equações de Kolmogorov

2.5. Theoremas Limite

2.6. Estimação 


3. Processos de Difusão:

3.1. Processo Browniano ou de Wiener: construcção e propriedades


3.2. Integral Estocástico de Itô: construção and propriedades; fórmula de Itô e applicações

3.3. Equações Diferenciais Estocásticas: existência e unicidade das soluções fortes


3.4. Processo Browniano Geométrico, Vasicek, Ornstein-Uhlenbeck, Cox-Ingersoll-Ross 

3.5. Diffusões: propriedades essenciais em dimensão um.


3.6. Estimação

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: