Processos Estocásticos e Modelação
Objetivos
Aplicar os conceitos e propriedades de: série temporal estacionária, integrada, univariada, filtro aplicado a uma série aleatória estacionária, operador de deslocação retrógrado, operador de diferença inversa, raízes da equação característica de séries temporais, modelo autorregressivo multivariado. Delinear os processos de identificação, estimação e diagnóstico, de uma série temporal, os critérios para escolha entre os modelos e os testes diagnósticos a aplicar aos resíduos. Desenvolver previsões determinísticas a partir de dados. Formular as equações de Chapman-Kolmogorov, calcular a distribuição estacionária e aplicar as cadeias de Markov como uma ferramenta para modelação e simulação. Aplicar os conceitos do processo de Wiener. Demonstrar compreensão prática das equações diferenciais estocásticas, do integral de Itô, do lema de Itô, sua demonstração e aplicação para estabelecer e resolver as equações diferenciais estocásticas de processos importantes; exemplo, reversão à média. |
Caracterização geral
Código
12456
Créditos
6.0
Professor responsável
Susana Maria Marques Henriques Botelho Baptista
Horas
Semanais - 3
Totais - 48
Idioma de ensino
Português
Pré-requisitos
A disponibilizar brevemente
Bibliografia
Time Series Analysis and its applications- with R examples
Robert H Shumway and David S Stoffer
Springer Fourth Edition
Stochastic Processes
Parzen, E.
Holden Day, 1965
Stochastic Processes, 2nd Ed.
Ross, S. M.
Wiley & Sons, 1996
Stochastic Differential Equations
Oksendal, B.
Springer Sixth Edition
Statistical Inference for Diffusion Type Processes
Prakasa Rao, B.
Oxford University Press
Método de ensino
A metodologia é a clássica em Matemática no ensino superior. Exposição, exercícios e problemas, trabalhos práticos para aplicação a dados reais. Os conteúdos são apresentados e discutidos, procurando-se dar relevo às ideias, e técnicas, mais relevantes. Há materiais de estudo: livro de texto, notas de aula com exercícios, alguns resolvidos e, lista de questões teóricas que indicam claramente o que o aluno deve ter como objectivos de aprendizagem.
Método de avaliação
1. AVALIAÇÃO CONTÍNUA
A avaliação contínua é composta por 1 projecto e 2 testes, classificados numa escala de 0 a 20 valores.
Sejam P, T 1 and T 2 as respectivas classificações do projecto, teste 1 e teste 2. O aluno obtém aprovação na UC se
0,25 × P + 0,35×T 1 + 0,4×T 2 ≥ 9,5 .
Nesse caso a classifificação final é definida como a média arredondada às unidades.
2. EXAME
Todos os alunos inscritos na UC podeme realizar exame.
A classificação final é definida por:
CF= 0,25 × P + 0,75 × E , sendo P a classificação do projecto e E a classificação do exame (escala de 0 a 20 valores).
Se a classificação CF for superior ou igual a 9.5, o aluno obtém aprovação na UC e a nota é arredondada às unidades.
3. MELHORIA DE NOTA
Qualquer aluno que pretenda efectuar melhoria de nota terá de se inscrever no CLIP ( informações junto da Divisão Académica).
A melhoria pode ser relativa apenas a um dos módulos lecionados: Séries Temporais ou Processos de Markov a Tempo Contínuo ou Processos de Difusão, correspondendo nesse caso e respectivamente, a realização de um trabalho ou realização de provas de exame. Pode ainda ser realizada melhoria a qualquer outra combinação de módulos.
A classificação da melhoria de nota é calculada de acordo com o ponto 2. Caso essa nota seja superior à anteriormente obtida, a classificação final será a de melhoria. Caso contrário, não existe alteração de nota.
Conteúdo
1.Séries Temporais
1.1. Medidas; Estacionaridade; Estimação da correlação
1.2. Modelos AR; Modelos Ma; Modelos ARMA
1.3. Autocorrelação and Autocorrelação Parcial
1.4. Modelos ARIMA
1.5. Previsão
1.6 Representação Espectral ; Periodograma
1.7 VAR
2. Cadeias de Markov em tempo contínuo:
2.1. Processos de Markov homogéneos, equações de Kolmogorov
2.2. Probabilidades de Transição e Equação Chapman-Kolmogorov
2.3. Distribução Estacionária
2.4. Processos de Markov Não-Homogéneos, Matriz de Intensidades, Equações de Kolmogorov
2.5. Theoremas Limite
2.6. Estimação
3. Processos de Difusão:
3.1. Processo Browniano ou de Wiener: construcção e propriedades
3.2. Integral Estocástico de Itô: construção and propriedades; fórmula de Itô e applicações
3.3. Equações Diferenciais Estocásticas: existência e unicidade das soluções fortes
3.4. Processo Browniano Geométrico, Vasicek, Ornstein-Uhlenbeck, Cox-Ingersoll-Ross
3.5. Diffusões: propriedades essenciais em dimensão um.
3.6. Estimação