Elementos de Análise e Álgebra II

Objectivos

O estudante deve adquirir conhecimentos básicos sobre séries numéricas e séries de funções, cálculo diferencial e integral para funções de várias variáveis, resolução de equações diferenciais ordinárias e caracterização de grupos, isometrias e simetrias.

Caracterização geral

Código

8789

Créditos

6.0

Professor responsável

Elvira Júlia Conceição Matias Coimbra

Horas

Semanais - 6

Totais - 67

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

O aluno deve possuir conhecimentos elementares de análise, nomeadamente, sucessões de números reais, cálculo diferencial e integral em R.

Bibliografia

[1] Sá, A. & Louro, B. – Sucessões e Séries, Escolar Editora, 2009.

[2] Sarrico, C. - Análise Matemática, Gradiva, 1997.

[3] Sarrico, C. - Cálculo Diferencial e Integral para funções de várias variáveis, Esfera do Caos, 2009.

[4]  Monteiro, A. & Matos, I. - Álgebra, Escolar Editora, 2001.

Método de ensino

A disponibilizar brevemente

Método de avaliação

 FREQUÊNCIA À DISCIPLINA

 Para obter classificação na disciplina, é necessário que o aluno obtenha frequência ou que dela esteja dispensado.

 Para obter frequência:

 - o aluno de primeira inscrição não pode exceder o limite de três faltas injustificadas às aulas teóricas E três faltas injustificadas às aulas práticas, ou possuir algum estatuto especial que preveja a dispensa de comparência a aulas (e.g., trabalhadores estudantes).

- o aluno de inscrição superior à primeira não pode exceder o limite de oito faltas injustificadas às aulas teóricas OU oito faltas injustificadas às aulas práticas, ou possuir algum estatuto especial que preveja a dispensa de comparência a aulas (e.g., trabalhadores estudantes).

Métodos de Avaliação

1º Semestre do Ano Lectivo 2021/2022

1. Requisitos

 No acto das provas de avaliação os alunos devem ser  portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão,  Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante).

 

2. Avaliação contínua

Ao longo do semestre serão realizados dois testes  Nas condições anteriores, seja T1 a classificação obtida no primeiro teste, T2 a obtida  (todas em valores não arredondados). Considere-se

AC = (T1+T2)//2

Se AC≥9.5 e T2 ≥ 7.5 o aluno é aprovado  e a classificação final ACF será obtida por arredondamento de AC às unidades

 Se 10 ≤ ACF ≤ 17, o aluno fica aprovado com a classificação final ACF. Se ACF ≥ 18, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.


4. Época de recurso

Podem apresentar-se a exame na época de recurso todos os alunos inscritos, e ainda não aprovados na disciplina, que estejam nas condições do ponto 2.

Este exame consiste numa prova escrita com duração de 3 horas que versa sobre a totalidade dos conteúdos da UC..

Ao exame será atribuída uma classificação entre 0 e 20 valores (E).Designe-se  por EF o valor  de E arredondado às unidades. O aluno  será aprovado à disciplina, se EF   for superior ou igual a 10 valores.

.Se 10 ≤ EF ≤ 17, o aluno fica aprovado com a classificação final EF. Se EF ≥ 18, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 17 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

Em alternativa,um aluno não aprovado por avaliação contínua pode optar por melhorar a classificação de um dos testes na data  do exame de recurso ( em substituição da  prova de exame de recurso que incide sobre toda a matéria).

 

5– Melhoria de Nota

Todos os alunos que pretendam apresentar-se a exame de melhoria de nota devem inscrever-se, para esse efeito, através do CLIP.

Se a classificação do exame de melhoria, NEM, for superior à classificação obtida anteriormente na disciplina, será considerada como classificação final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.

 

Conteúdo

1 Séries

1.1 Breves revisões sobre sucessões numéricas. Sucessões de funções.

1.2 Séries numéricas: definição e propriedades elementares. Critério de convergência para séries geométricas. Critério da raiz de Cauchy e critério de D''''''''''''''''''''''''''''''''Alembert. Aplicações.

1.3 Séries de potências: definição; noção de raio e de intervalo de  convergência. Teoremas de integração e de derivação termo a termo.

1.4 Série de Taylor de uma função regular: condições para a igualdade entre a função e a respetiva série de Taylor.

2 Funções de várias variáveis

2.1 Definição e primeiras propriedades. Representação gráfica de funções de duas variáveis. Curvas de nível. Exemplos.

2.2 Limites de funções de várias variáveis: definição e propriedades elementares. Limites segundo curvas; limites direcionais. Noção de continuidade de uma função num ponto do respetivo domínio.

2.3 Derivadas parciais e diferenciabilidade: vetor gradiente e aplicações.

2.4 Integração de funções de duas variáveis. Teorema de Fubini, sistema de coordenadas polares.

3 Equações diferenciais ordinárias

3.1 Modelação matemática através de equações diferenciais: modelos exponenciais e logísticos. Exemplos de aplicações.

3.2 Equações diferenciais de primeira ordem: equações lineares; equações de variáveis separáveis; equações diferenciais exatas.

3.3 Equações diferenciais de segunda ordem: equações lineares homogéneas. Métodos de resolução de equações lineares não homogéneas: método de variação das constantes e dos coeficientes indeterminados.

4 Grupos

4.1 Definição e primeiros exemplos.

4.2 Grupo das isometrias de R^2. Grupos de isometrias que deixam invariantes um subconjunto de R^2. Grupos diedrais. Aplicação ao grupo de frisos.