Análise Matemática I A

Objectivos

Apresentar aos alunos a matemática de uma forma rigorosa e construtiva, começando pelos números naturais e terminando no conceito de diferenciabilidade de funções.

Caracterização geral

Código

10969

Créditos

9.0

Professor responsável

Fábio Augusto da Costa Carvalho Chalub

Horas

Semanais - 6

Totais - 72

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Conhecimentos matemáticos a nível de secundário.

Bibliografia

O principal texto, ao qual seguiremos, é

Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition. Mcgraw-Hill.

 

Outros textos recomendados são:

Lima, Elon Lages. Análise Real, vol 1. Funções de uma variável real. Coleção Matemática Universitária. Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, Brasil.

 

Material disponível gratuitamente abaixo:


Trench, William F.. Introduction to Real Analysis.

https://digitalcommons.trinity.edu/mono/7/


Hirst, Keith E., Calculus of One Variable, Springer

https://link.springer.com/book/10.1007%2F1-84628-222-5 (download gratuito na rede da universidade)


Uma versão mais intuitiva de parte dos assuntos lecionados pode ser encontrada em

https://openstax.org/details/books/calculus-volume-1



Método de ensino

6hs semanais incluindo exposição teórica e exercícios trabalhados em sala de aula.

Método de avaliação

Não haverá registo de presenças.

A componente contínua da avaliação consiste de dois testes (T1 e T2), sendo que o segundo teste deve ter nota mínima 7.

Se T2<7, então MF=min(9,(T1+T2)/2).

Caso contrário MF=(T1+T2)/2.

A nota final consiste no arrendondamento ao inteiro mais próximo de MF. (n.5 é arrendodado a n+1).

Para quem não for aprovado na avaliação contínua, é possível fazer um exame de recurso. O exame de recurso é feito sobre todo o programa da UC.

Conteúdo

1. Números reais. Noções topológicas em IR. Indução matemática.

2. Sucessões de números reais: Limites. Limites infinitos. Limites no infinito. Sucessões monótonas. Sucessões convergentes. Subsucessões. Limite superior e limite inferior. Sucessões de Cauchy. Completude de IR.

3. Funções reais de variável real: Limites e continuidade. Propriedades das funções contínuas; teorema de Bolzano; teorema de Weierstrass. Continuidade uniforme; funções lispschitzianas. Teorema de Cantor.

4. Cálculo diferencial: Derivadas, interpretação e propriedades físicas e geométricas. Teoremas fundamentais: Rolle, Darboux, Lagrange e Cauchy. Regra de Cauchy. Fórmula de Taylor e aplicações. Extremos, concavidades e pontos de inflexão.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: