Métodos Numéricos em Finanças
Objetivos
1. Simulação de variáveis aleatórias contínuas e discretas
Método da transformação inversa. Método de aceitação rejeição. Simulação de variáveis aleatórias com distribuição normal. Método de Box-Muller e variante de Marsaglia. Simulação de variáveis aleatórias com distribuição normal multivariada.
2. Métodos para integração numérica.
Regra de quadratura do rectângulo (simples e composta). Análise do erro. Métodos de Monte Carlo para integração numérica. Análise do erro. Técnicas de redução da variância para o método de Monte Carlo. Técnica das variáveis antitéticas, da amostragem por importância, das variáveis de controlo e da amostragem estratificada.
Métodos QuasiMonte Carlo. Discrepância. Desigualdade de Koksma-Hlawka. Sequências de baixa discrepância. sequências de Van der Corput. Sequências de Halton.
3) Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias e estocásticas.
Revisão de alguns métodos de resolução numérica de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Método de Euler explícito e implícito. Métodos de Taylor. Métodos de Runge-Kutta. Convergência e estabilidade.
Simulação de trajectórias de movimentos Brownianos unidimensionais: Método do passeio aleatório. Método das pontes Brownianas. Métodos do tipo Fourier. Transformada rápida de Fourier. Simulação de trajectórias de Brownianos multidimensionais. Aproximação numérica do integral de Itô. Método de Euler-Maruyama para equações estocásticas. Convergência forte e convergência fraca. Método de Euler-Maruyama fraco. Método de Milstein. Estabilidade. Métodos de Runge-Kutta para equações estocásticas.
4) Método das diferenças finitas para equações com derivadas parciais do tipo parabólico.
Método das diferenças finitas para a equação do calor com condições de fronteira do tipo Dirichlet e para problemas de Cauchy. Métodos das diferenças progressivas, regressivas e de Crank-Nicolson. Esquemas theta. Convergência e estabilidade. Método das diferenças finitas para problemas de obstáculo em dimensão um. Métodos SOR com projecção. Aplicações a modelos em Matemática Financeira: o caso das opções Europeias e Americanas.
Caracterização geral
Código
11582
Créditos
6.0
Professor responsável
Nuno Filipe Marcelino Martins
Horas
Semanais - 4
Totais - A disponibilizar brevemente
Idioma de ensino
Português
Pré-requisitos
A disponibilizar brevemente
Bibliografia
Método de ensino
A disponibilizar brevemente
Método de avaliação
A avaliação é constrituida por dois trabalhos T1 , T2 ao longo do semestre e de um trabalho final (Tf).
A classificação final é a média dos trabalhos T1, T2 (ambos com peso de 25 %) e Tf (com peso de 50 %), arredondada às unidades.
Conteúdo
1. Simulação de variáveis aleatórias contínuas e discretas
Método da transformação inversa. Método de aceitação rejeição. Simulação de variáveis aleatórias com distribuição normal. Método de Box-Muller e variante de Marsaglia. Simulação de variáveis aleatórias com distribuição normal multivariada.
2. Métodos para integração numérica.
Regra de quadratura do rectângulo (simples e composta). Análise do erro. Métodos de Monte Carlo para integração numérica. Análise do erro. Técnicas de redução da variância para o método de Monte Carlo. Técnica das variáveis antitéticas, da amostragem por importância, das variáveis de controlo e da amostragem estratificada.
Métodos QuasiMonte Carlo. Discrepância. Desigualdade de Koksma-Hlawka. Sequências de baixa discrepância. sequências de Van der Corput. Sequências de Halton.
3) Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias e estocásticas.
Revisão de alguns métodos de resolução numérica de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Método de Euler explícito e implícito. Métodos de Taylor. Métodos de Runge-Kutta. Convergência e estabilidade.
Simulação de trajectórias de movimentos Brownianos unidimensionais: Método do passeio aleatório. Método das pontes Brownianas. Métodos do tipo Fourier. Transformada rápida de Fourier. Simulação de trajectórias de Brownianos multidimensionais. Aproximação numérica do integral de Itô. Método de Euler-Maruyama para equações estocásticas. Convergência forte e convergência fraca. Método de Euler-Maruyama fraco. Método de Milstein. Estabilidade. Métodos de Runge-Kutta para equações estocásticas.
4) Método das diferenças finitas para equações com derivadas parciais do tipo parabólico.
Método das diferenças finitas para a equação do calor com condições de fronteira do tipo Dirichlet e para problemas de Cauchy. Métodos das diferenças progressivas, regressivas e de Crank-Nicolson. Esquemas theta. Convergência e estabilidade. Método das diferenças finitas para problemas de obstáculo em dimensão um. Métodos SOR com projecção. Aplicações a modelos em Matemática Financeira: o caso das opções Europeias e Americanas.