Topologia Geral

Objectivos

O objectivo desta unidade curricular é dotar os alunos de conhecimentos de Topologia Geral,  ilustrados com numerosos exemplos explícitos, servindo também como uma introdução à Topologia Algébrica e à Teoria da Homotopia.
Os alunos deverão entender e saber demonstrar os resultados fundamentais sobre espaços topológicos, funções contínuas, compacidade, conexidade e axiomas de separação/ numerabilidade. Na área de Topologia Algébrica, os alunos farão uma aprendizagem do conceito de grupo fundamental de um espaço topológico, e do seu cálculo em casos simples, resultando do Teorema de van Kampen ou da passagem a espaços de revestimento, bem como da aplicação do grupo fundamental aos teoremas de separação no plano. Havendo tempo, é também um objectivo da unidade curricular abordar os teoremas de  classificação das superfícies compactas e dos espaços de revestimento. 

Caracterização geral

Código

11585

Créditos

6.0

Professor responsável

Ana Cristina Malheiro Casimiro

Horas

Semanais - 4

Totais - A disponibilizar brevemente

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Análise em Rn. Noções gerais de Algebra Linear.

Noções gerais sobre espaços métricos.

Noções gerais de Álgebra Geral: relações de equivalência, grupos, anéis,  homomorfismos e isomorfismos.

Bibliografia

John M. Lee: Introduction to Topological Manifolds, Second Edition, Graduate Texts in Mathematics 202, Springer, 2011 (Livro principal)

James R. Munkres: Topology. Prentice Hall (2000)

Armstrong, Mark Anthony: Basic topology. Corrected reprint of the 1979 original. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983.

Gamelin, Theodore W.; Greene, Robert Everist: Introduction to topology. Second edition. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 1999.

Hatcher, Allen: Algebraic topology.  Cambridge University Press, Cambridge,2002.

Método de ensino

A unidade curricular funcionará  com 3 horas semanais de aulas teorico-práticas e 1 hora de apoio/dúvidas em sala de aula. A aprendizagem autónoma dos alunos centrar-se-á na resolução de séries avançadas de exercícios, alguns contendo provas de resultados fundamentais. 

Método de avaliação

A unidade curricular funcionará  com 4 horas semanais de aulas teorico-práticas. A aprendizagem autónoma dos alunos centrar-se-á na resolução de exercícios, alguns contendo provas de resultados fundamentais.

Os alunos terão que fazer uma exposição oral da leitura da matéria teórica, esta será avaliada com uma classificação entre 0 e 20 valores e cuja nota contará 40% da classificação final da UC. Regularmente será designado uma lista de exercícios aos alunos, cuja resolução devem entregar na sessão seguinte e efectuar uma exposição oral desta. A cada lista de exercícios e correspondente exposição oral será atribuída uma nota entre 0 e 20 valores. A nota final será a média aritmética de todas as notas e contará 40% para a nota da UC. Uma lista de exercícios não entregue corresponde a um zero. No final do semestre será efetuado um Teste de 1h30m, presencial, com consulta, cuja nota contará 20% para a nota da UC.

Conteúdo

1)Espaços topológicos. Base e sub-base. Funções contínuas. Homeomorfismos. Propriedades topológicas.

2)Conexidade. Conexidade por arcos. Componentes.

3)Compacidade. Lema da sub-base. Produtos de espaços topológicos. Teorema de Tychonoff. Compacidade em espaços métricos. Números de Lebesgue. Compacidade local.

4)Axiomas de numerabilidade. Axiomas de separação. Lema de Urysohn. Teorema da extensão de Tietze.

5)Topologia quociente.

6)Homotopia entre curvas. Grupo fundamental. Independência do ponto base. Grupo fundamental da esfera. Categorias e functores. Equivalência de homotopia. Functorialidade do grupo fundamental. Coberturas. Levantamento de curvas e de homotopias. O grupo fundamental da circunferência e do plano projectivo. Teorema do ponto fixo de Brouwer. Aplicações.

Tópicos adicionais: Variedades. Espaços de funções. Espaços de Baire. Classificação de superfícies. Classificação de coberturas.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: