Cálculo II

Objectivos

Neste curso serão desenvolvidas as ferramentas fundamentais do Cálculo Diferencial em ??, que permitem a formulação e desenvolvimento matemático de modelos tratados em Economia, Gestão e Finanças.

Caracterização geral

Código

1302

Créditos

7.5

Professor responsável

Patrícia Xufre; Pedro Chaves

Horas

Semanais - A disponibilizar brevemente

Totais - A disponibilizar brevemente

Idioma de ensino

Português e Inglês

Pré-requisitos

Precedência obrigatória:

- 1301. Cálculo I

- 1303. Álgebra Linear (fortemente recomendado)

Bibliografia

Principais referências:
•    Pires, C., Cálculo para Economia e Gestão, Escolar Editora, 2011. (PT)
•    Simon, C.P., Blume, L., Mathematics for Economists, W.W. Norton & Company, Inc, 1994. (EN)
•    Xufre, P., Silva, P., Mendes, D., Análise em ???, 1ª edição, Escolar Editora, 2017.

Outras referências:
•    Dias Agudo, F.R., Análise Real, Livraria Escolar Editora, 2ª edição, 1994.
Excepto tópicos 6.5 e 6.6

•    Azenha, A., Jerónimo, M.A., Elementos de Cálculo Diferencial e Integral em ? e
???, McGraw-Hill, 1995.
Excepto tópicos 6.5 e 6.6
•    Campos  Ferreira,  J.,  Introdução  à  Análise  em    , Publicação electrónica (https://math.tecnico.ulisboa.pt/textos/iarn.pdf), DM, IST, 2003.
Excepto tópicos 6.5 e 6.6

•    Sydsæter, K. et al., Further Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, 2005.

Método de ensino

Aulas teóricas; aulas práticas; resolução de exercícios e exercícios propostos; minitestes, teste intermédio e exame final.

Método de avaliação

A nota final em época normal é calculada da seguinte forma:
???????? ?????????? = 0.4 × Média dos ?? ???????????????? ???? + 0.6 × ????

-    Três Testes Intermédios (TI) – durante o semestre os alunos realizarão 3 testes intermédios dos quais apenas a nota dos 2 melhores será considerada para o cálculo da nota final*
-    Exame Final (EF)– nota mínima de 8.5 em 20 valores

Em Época Recurso/Especial a nota final pode corresponder exclusivamente à nota do exame se o aluno manifestar por escrito, no dia do exame, esse interesse. Por defeito, será calculada de modo idêntico ao utilizado para a Época Normal.



Melhorias:
Situação 1 – Obteve aprovação à disciplina noutro semestre e independentemente da época de exame em que realiza o exame final:
-    Se o aluno realizar algum dos Testes intermédios, a sua nota final será obtida através da fórmula seguinte:
???????? ?????????? = 0.4 × Média dos ?? ???????????????? ???? + 0.6 × ????
-    Caso contrário, a sua nota final corresponderá à nota obtida no exame final:
???????? ?????????? = ????


Situação 2 – Obtém aprovação à disciplina na época normal do presente semestre:




* Para um aluno que não realize justificadamente pelo menos dois dos três testes intermédios, a ponderação atribuída à nota do exame final será 100%. O exame que estes alunos irão realizar será obviamente diferente do dos restantes alunos, pois irá incluir matéria ainda não avaliada.
 
- A nota final pode corresponder exclusivamente à nota do exame se o aluno manifestar por escrito, no dia do exame, esse interesse. Caso contrário, será calculada de acordo com a fórmula:
???????? ?????????? = 0.4 × Média dos ?? ???????????????? ???? + 0.6 × ????


Conteúdo

1.    Espaço  
1.1.    Noção de norma;
1.2.    Noção de distância;
1.3.    Breves noções de topologia.

2.    Funções de    em  
2.1.    Exemplos em Economia/Gestão;
2.2.    Domínio;
2.3.    Caso particular:   .
Representação gráfica através das curvas de nível;
2.4.    Limite de uma função;
2.4.1.    Conceito de limite;
2.4.2.    Limite da função segundo uma trajetória específica;
2.4.3.    Algumas propriedades importantes;
2.5.    Continuidade;
2.5.1.    Principais resultados.

3.    Derivação em  
3.1.    Derivadas parciais de 1ª ordem (vector gradiente e matriz jacobiana);
 
3.2.    Derivadas de ordem superior (matriz hessiana);
3.3.    Derivada direcional;
3.4.    Diferenciabilidade;
3.5.    Propriedades fundamentais das funções diferenciáveis;
3.6.    Derivação da Função Composta;
3.7.    Função Homogénea;
3.7.1.    Exemplos económicos;
3.7.2.    Teorema de Euler;
3.7.3.    Homogeneidade das derivadas parciais.

4.    Fórmula de Taylor
4.1.    Teorema dos Acréscimos Finitos;
4.2.    Fórmula de Taylor e Fórmula de McLaurin.

5.    Teorema da Função Inversa e Teorema da Função Implícita
5.1.    Invertibilidade de funções em   ;
5.2.    Funções Implícitas. Exemplos económicos.

6.    Optimização
6.1.    Alguns conceitos básicos;
6.2.    Conjuntos convexos, funções convexas;
6.3.    Optimização livre;
6.4.    Optimização com restrições de igualdade:
método dos multiplicadores de Lagrange;
6.5.    Teorema do envelope;
6.6.    Optimização com restrições de desigualdade: condições de Karush-Kuhn-Tucker.


Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: