Análise Matemática II D

Objectivos

O aluno aprovado deve ser capaz de estudar a regularidade de uma função de diversas variáveis no seu domínio, determinar máximos e mínimos através da identificação dos extremais de uma função, calcular integrais de linha e integrais em domínios planos, integrais de superfície e de volume no espaço.

O aluno deverá também conhecer e aplicar resultados clássicos sobre convergência de séries numéricas.

Caracterização geral

Código

10572

Créditos

6.0

Professor responsável

Ana Maria de Sousa Alves de Sá, José Maria Nunes de Almeida Gonçalves Gomes

Horas

Semanais - 4

Totais - 70

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

O aluno deverá ter competência nos conteúdos de Geometria Analítica (ensino secundário), Análise 1 e Álgebra Linear.

Bibliografia

Calculus; Anton, Bivens and Davis, Wiley (8th edition)

Curso de Análise, vol 2; Elon L. Lima, Ed IMPA (projecto Euclides)

Cálculo, vol 2; Tom M. Apostol, Ed. Reverté.

Principles of Mathematical Analysis, W. Rudin, McGraw Hill.

Método de ensino

O ensino baseia-se na dualidade complementar entre leccionação teórica e aplicação de resultados no contexto de aulas práticas. Nas aulas teóricas são apresentados os conceitos, com indicações claras sobre a sua motivação e aplicações na área de formação dos alunos. Nas aulas práticas, a resolução e discussão de exercícios permite um reforço da integração dos conceitos teóricos assim como o desenvolvimentos das capacidades operativas dos alunos, tendo em vista a sua actividade profissional.

Além da bibliografia, os alunos terão o apoio de um texto teórico-prático (disponível no CLIP) e de horários de atendimento onde poderão requerer apoio específico para as suas dificuldades. 

Método de avaliação

Modelo de avaliação contínua.

Apenas é passível de avaliação contínua o aluno que assistiu a 2/3 das aulas práticas ou a 2/3 das aulas teóricas. O método de avaliação contínua baseia-se na realização de dois testes, sendo o aluno aprovado se a média aritmética dos testes for superior ou igual a 9.5. Na data de exame de recurso, o aluno poderá optar por melhorar um dos testes (independentemente de ter realizado ou não). Caso o aluno aprovado deseje realizar melhoria por exame, deve obrigatóriamente informar o regente para que se proceda ao lançamento da nota.

Modelo de avaliação por exame.

Qualquer aluno inscrito na disciplina pode realizar exame de recurso sendo aprovado se a nota final for superior ou igual a 9.5 valores.

 

 Ao abrigo do regulamento da FCT, o regente pode solicitar uma prova extraordinário para aferir o real nível de conhecimento do aluno.

Conteúdo

1-      Revisões de Geometria Analítica.

1.1   Cónicas.

1.2   Quádricas.

2-      Limites e continuidade em Rn.

2.1   Noções topológicas em Rn.

2.2   Funções vetoriais de variável real e funções reais de diversas variáveis reais: domínio, gráfico, curvas e superfícies de nível .

2.3  Noções de limite e continuidade.

3-    Cálculo diferencial em Rn

3.1   Noção de derivadas parcial. Teorema de Schwarz.

3.2   Derivada segundo um vetor. Matriz Jacobiana. Vetor gradiente. Noção de diferenciabilidade.

3.3   Diferenciabilidade da função composta. Teorema de Taylor. Teorema da Função Implícita. Teorema da Função Inversa.

3.4   Extremos relativos. Extremos condicionados. Teorema dos Multiplicadores de Lagrange.

 

4-      Cálculo integral em Rn

4.1   Integrais duplos. Teorema de Fubini. Mudança de variável em integrais duplos. Integrais duplos em coordenadas polares. Aplicações.

4.2    Integrais triplos. Teorema de Fubini. Mudança de variável em integrais triplos. Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas. Aplicações.

 

5-      Análise vetorial

5.1   Campos vetoriais. Campo gradiente. Divergência e rotacional. Campos fechados. Campos conservativos. Aplicações.

5.2   Formalismo das formas diferenciais. Integrais de linha de campos escalares e de campos vetoriais. Teorema fundamental para integrais de linha. Teorema de Green. Aplicações.

5.3   Integrais de superfície de campos escalares. Fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Teorema de Stokes e Teorema de Gauss-Ostrogradsky. Aplicações.

6-      Séries numéricas

6.1   Convergência de séries numéricas. Condição necessária de convergência. Séries telescópicas. Séries geométricas.

6.2   Séries de termos não negativos. Séries de Dirichlet. Critérios de comparação. Critério da razão. Critério de D’Alembert. Critério da raiz. Critério de Cauchy.

6.3   Convergência simples e absoluta. Séries alternadas e critério de Leibnitz.