Análise Matemática I

Objectivos

Domínio das técnicas básicas necessárias à Análise Matemática de funções reais de variável real.

Pretende-se que os alunos adquiram não só capacidades de cálculo fundamentais para a aprendizagem de alguns dos conhecimentos leccionados na Física, Química e outras disciplinas de Engenharia, mas também que desenvolvam métodos sólidos de raciocínio lógico e de análise.

Sendo a primeira unidade curricular de Análise Matemática, consiste numa introdução a alguns dos conceitos que serão aprofundados e generalizados em unidades curriculares subsequentes do plano de estudos.

Caracterização geral

Código

11504

Créditos

6.0

Professor responsável

Ana Luísa da Graça Batista Custódio

Horas

Semanais - 5

Totais - 60

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

O aluno deve dominar os conhecimentos matemáticos ministrados até à conclusão do ensino secundário.

Bibliografia

Bibliografia Recomendada

  1. Ana Alves de Sá e Bento Louro, Cálculo Diferencial e Integral em R
  2. Jaime Campos Ferreira, Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 1982
  3. Carlos Sarrico, Análise Matemática, Leituras e Exercícios, Gradiva, 1997
  4. Robert G. Bartle e Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, John Wiley & Sons Inc., 1999
  5. Rod Haggarty, Fundamentals of Mathematical Analysis, Prentice Hall, 1993

Método de ensino

As aulas teóricas consistem na exposição da matéria, que é ilustrada com exemplos de aplicação.

As aulas práticas consistem na resolução de alguns exercícios de aplicação dos métodos e resultados leccionados nas aulas teóricas, bem como no apoio aos exercícios resolvidos pelos estudantes em trabalho autónomo.

Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas, nas sessões semanais destinadas ao atendimento aos alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor.

Método de avaliação

O presente texto regula o processo de avaliação de conhecimentos da unidade curricular Análise Matemática I, no primeiro semestre do ano lectivo 2021/22. Em qualquer situação omissa, aplica-se o Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, de 17 de Novembro de 2020.

Frequência

É concedida frequência a qualquer estudante que assista a pelo menos 2/3 das aulas leccionadas no turno prático em que se encontra inscrito. As ausências são contabilizadas a partir do primeiro dia de aulas e não do primeiro dia em que o estudante se inscreve no turno prático.

Os alunos com estatuto de trabalhador-estudante e, de acordo com o ponto 4 do artigo 6º do Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, os alunos que obtiveram frequência no segundo semestre do ano lectivo 2020/21 estão dispensados da sua obtenção. Contudo, recomenda-se que os alunos dispensados da obtenção de frequência frequentem as aulas com a mesma assiduidade que os alunos não dispensados da sua obtenção.

Apenas os alunos com frequência terão classificação final na unidade curricular.

Inscrição em Provas Presenciais (Testes, Repetição de Testes, Exame)

Com o objectivo de racionalizar os recursos da FCT NOVA (instalações, pessoal docente e pessoal não docente), apenas se podem apresentar a qualquer prova presencial os alunos devidamente inscritos para o efeito através da página CLIP da unidade curricular. Devem ainda apresentar-se munidos de um caderno de prova em branco, material de escrita e documento de identificação oficial, com fotografia recente.

Qualquer prova da unidade curricular (presencial ou online) deve ser realizada pelo próprio aluno, sem qaulquer consulta de materiais e sem utilização de qualquer material informático de cálculo.

Avaliação Contínua

A avaliação contínua da unidade curricular é efectuada com recurso a Avaliação Teórico-Prática, contemplando dois testes presenciais, cada um com a duração de 1h30 minutos, e três mini-testes, realizados à distância, cada um com a duração de 15 minutos.

No caso de impossibilidade de entrega de algum mini-teste, o aluno poderá repetir um único mini-teste, em prova presencial, com data coincidente com a data do segundo teste.

Sejam T1 e T2 as classificações de cada um dos dois testes e MT a média das classificações dos três mini-testes, expressas numa escala de 0 a 20 valores, arrendondadas às décimas. Um aluno terá a classificação final 0.4 T1 + 0.45 T2 + 0.15 MT, arredondada às unidades.

O aluno obterá aprovação na unidade curricular se esta classificação for superior ou igual a 10 valores. Caso contrário, o aluno terá reprovado à unidade curricular por avaliação contínua.

Época de Recurso

Os alunos reprovados por avaliação contínua podem apresentar-se a uma prova complementar, a realizar na data da época de recurso. Na altura da inscrição para a época de recurso, o aluno opta pela prova complementar que irá realizar: repetição do primeiro teste, repetição do segundo teste ou exame completo sobre toda a matéria leccionada na unidade curricular durante o semestre.

A três provas têm início à mesma hora. Contudo, as repetições de testes têm uma duração de 1h30 e o exame uma duração de 3h. Sejam RT1, RT2 e E as classificações obtidas na repetição do primeiro teste, repetição do segundo teste ou no exame, respectivamente, expressas numa escala de 0 a 20 valores, arrendondadas às décimas.

A classificação final do aluno na época de recurso será:

0.4 RT1 + 0.45 T2 + 0.15 MT, arredondada às unidades, caso opte por repetir o primeiro teste;

0.4 T1 + 0.45 RT2 + 0.15 MT, arredondada às unidades, caso opte por repetir o segundo teste;

0.85 E + 0.15 MT, arredondada às unidades, caso opte por realizar o exame.

O aluno obterá aprovação na unidade curricular se esta classificação for superior ou igual a 10 valores. Caso contrário, o aluno terá reprovado à unidade curricular.

Defesa de Nota

Todos os alunos com uma classificação final superior ou igual a 18 valores podem, caso o desejem, apresentar-se a uma prova de defesa de nota. A não realização desta prova implica uma classificação final de 17 valores à unidade curricular.

Melhoria de Classificação

Os alunos aprovados na unidade curricular podem requerer Melhoria de Classificação, de acordo com o procedimento descrito no Artigo 22º do Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, de 17 de Novembro de 2020.

Se tiverem obtido aprovação à unidade curricular no presente semestre, na altura da inscrição para a prova na página CLIP da unidade curricular, podem optar por repetir apenas um dos testes ou realizar o exame sobre toda a matéria, sendo a sua classificação provisória determinada tal como no caso dos alunos que estão a tentar a aprovação (ver a secção do presente regulamento sobre a Época de Recurso).

No caso da sua aprovação à unidade curricular não ter sido obtida no presente semestre, devem realizar o exame sobre toda a matéria. A sua classificação provisória será igual a E, arredondada às unidades.

Todos os alunos com uma classificação provisória superior ou igual a 18 valores podem, caso o desejem, apresentar-se a uma prova de defesa de nota. A não realização desta prova implica uma classificação provisória de 17 valores à unidade curricular.

A classificação final de melhoria de nota à unidade curricular será o máximo entre a classificação provisória e a actual classificação do aluno.

Conteúdo

1. Topologia - Indução Matemática - Sucessões

Topologia elementar da recta real. Relação de ordem na recta real.

Princípio de indução matemática.

Generalidades sobre sucessões. Noção de convergência de uma sucessão e propriedades do cálculo de limites. Subsucessões. Teorema de Bolzano-Weierstrass.

2. Limites e Continuidade 

Generalidades sobre funções reais de variável real. Definição de limite segundo Cauchy e Heine. Propriedades de cálculo.  

Continuidade de uma função num ponto. Propriedades das funções contínuas. Teorema do valor intermédio. Continuidade e bijecções recíprocas. Teorema de Weierstrass. 

3. Diferenciabilidade

Generalidades. Teoremas fundamentais: Rolle, Lagrange e Cauchy. Cálculo prático de limites. Teorema de Taylor e aplicações.

4. Primitivação

Introdução. Primitivação por partes. Primitivação por substituição. Primitivação de funções racionais.

5. Integração de Riemann

Introdução. Teoremas fundamentais. Integração por partes e integração por substituição. Aplicações diversas. 

Integrais impróprios.