Análise Matemática III C

Caracterização geral

Pré-requisitos

Domínio dos conteúdos das disciplinas de AM1C, AM2C e Álgebra Linear.

Bibliografia

Alves de Sá, A.; Louro, B. - Sucessões e Séries, Escolar Editora, 2ª Edição, 2014.

Apostol, T.M. - Calculus - Volume I e Volume II - Blaidsell Publishing Company.

Boyce, W. E., Diprima, R., - Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 11ª edição, John Wiley and Sons, Inc., 2017.

Braun, Martin - Differential Equations and their Applications, Springer-Verlag

Freitas, A.C. - Análise Infinitesimal - Volume 1 e Volume 2 - Notas de Lições para alunos do 2º ano das Licenciaturas da FCT.

Howard, Anton - Calculus: A New Horizon -John Wiley and Sons.

Kreysig - Advanced Engineering Mathematics

Taylor, A.E.;-- Man, W.R. - Advanced Calculus - John Wiley and Sons.

Zill, D. G. ; Cullen, M.R. - Differential equations with boundary value problems; 6th edition.

 

Método de ensino

As aulas teóricas consistem numa exposição oral com demonstração de alguns dos resultados considerados mais relevantes. As matérias são ilustradas com exemplos de aplicação.

Estão à disposição dos alunos folhas com exercícios propostos. Nas aulas práticas são resolvidos alguns dos exercícios referidos. Os exercícios que não são resolvidos nas aulas práticas fazem parte do trabalho individual de cada aluno. Quaisquer dúvidas teóricas ou na resolução de exercícios poderão ser esclarecidas em horários previamente estabelecidos para este efeito.

A avaliação é composta por três testes e para os que não obtiveram a aprovação na avaliação contínua há o exame de recurso. 

Método de avaliação

Método de Avaliação – Análise Matemática III-C

Em conformidade com o Regulamento de Avaliação de Conhecimentos (RAC) da Faculdade de Ciênncias e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, aprovado a 07 de Fevereiro de 2017, a disciplina de Análise Matemática III-C tem o seguinte método de avaliação:

Frequência

De acordo com o ponto seis do artigo sexto do RAC será atribuída frequência aos alunos de primeira inscrição que tenham assistido no mínimo a dois terços do número de aulas práticas presenciais efectivas. Estão dispensados de Frequência os alunos de segunda inscrição e seguintes ou que possuam um estatuto que dela os isente.

Avaliação contínua

A avaliação contínua da disciplina é efetuada através da realização de dois testes escritos (avaliação teórico e prática) a ter lugar nos dias 09/11 e 19/12 com a duração de duas horas cada. Designem-se por t1 e t2 as classificações atribuídas ao primeiro e segundo teste respetivamente. Relativamente a t2 existe a exigência de nota mínima que será  7.5.

A classificação final da Avaliação Contínua "AC" é calculada arredondando
(t1+t2)/2
às unidades, pelas convenções usuais.

O aluno é aprovado por avaliação contínua se tiver obtido frequência de acordo com as regras acima explicitadas, se  t2 for superior ou igual 7.5 e se AC =10.
}

Exame 

Os alunos reprovados por avaliação contínua a quem tenha sido atribuída frequência, ou dela tenham sido dispensados, poderão apresentar-se a exame.

O exame consiste numa prova escrita de duração nunca inferior a 3 horas que sobre a totalidade dos conteúdos da disciplina.

Ao exame será atribuída uma classificação inteira entre 0 e 20 valores, estando o aluno aprovado à disciplina, com essa classificação, se esta for superior ou igual a 10 valores.

É interdita a utilização de máquinas de calcular  ou quaisquer outros instrumentos de suporte de cálculo em todos os momentos de avaliação.

Defesa de Nota

Os alunos com uma classificação final superior ou igual a 18 valores deverão realizar uma prova de defesa de nota. A não realização desta prova conduz a uma classificação final de 17 valores na disciplina. A nota final de um aluno que realize a prova de defesa de nota nunca será inferior a 17 valores.

Melhoria de Classificação

Os alunos aprovados por avaliação contínua poderão requerer, mediante o cumprimento de todas as disposições impostas pela FCT-UNL, melhoria de classificação. Nesse caso, poderão efetuar o exame. A classificação final será o máximo entre as classificações obtidas em avaliação contínua e em exame.

Condições para a realização das provas escritas (testes e exame)

Poderão apresentar-se a cada um dos testes da Avaliação Contínua e ao Exame os alunos regularmente inscritos no Clip.  A inscrição deverá ser feita até pelo menos uma semana antes da realização da prova (teste ou exame). No dia da prova cada aluno deverá possuir um caderno de exame em branco que será entregue no início da prova ao docente que estiver a efectuar a vigilância. Durante a prova o aluno deverá ser portador de documento de identificação oficial com fotografia recente.

Em tudo o que presente Regulamento seja omisso valem os Regulamentos Gerais da FCT-UNL.

Conteúdo

1. Séries numéricas
1.1 Convergência de Séries Numéricas. Condição Necessária de Convergência. Séries Telescópicas. Séries Geométricas.
1.2 Séries de termos não negativos. Séries de Dirichlet. Critérios de Comparação. Critério da Razão. Critério de D''Alembert. Critério da Raiz. Critério de Cauchy.
1.3 Convergência Simples e Absoluta. Séries Alternadas e Critério de Leibniz.
2. Séries de Potências
2.1 Séries de Potências. Séries de Taylor de funções analíticas.

3. Equações Diferenciais Ordinárias
3.1 Equações Diferenciais de Primeira Ordem: Campo de Direcções associado a uma EDO de 1ª ordem; curvas integrais do campo e soluções. Alguns resultados de Existência e de Unicidade de soluções: os Teoremas de Picard e de Peano. Noção de solução implícita de uma equação diferencial. Equações autónomas e soluções de equilíbrio. Equações lineares, separáveis e de Bernoulli. Equações exactas e noção de factor integrante.
3.2 Equações Diferenciais de Segunda Ordem. Caso das equações homogéneas: polinómio característico e base do espaço vectorial solução. Generalização ao caso de equações diferenciais lineares homogéneas de ordem n≥3. Determinante Wronskiano e noção de independência linear de uma família de funções; estrutura afim do conjunto de soluções de uma EDO linear de 2ª ordem. Método de variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados. Noção de ressonância.
3.3 Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias através do uso de séries de potências.
3.4 Sistemas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes: Generalidades e estrutura das soluções. Base do espaço vectorial solução; Relação entre o espectro do sistema linear associado e a estabilidade das soluções de equilíbrio.

4. Transformada de Laplace
4.1 Definição. Transformada de Laplace das funções usuais: Polinómios, exponencial e funções trigonométricas.
4.2 Efeito na Transformada de Laplace da multiplicação por uma exponencial e por uma função linear. Transformada de Laplace da derivada de uma função e da função trasladada.
4.3 Transformada de Laplace da função de Heaviside e da distribuição de Dirac.
4.4 Transformada de Laplace e Convolução. Transformada de Laplace inversa.
4.5 Aplicações à resolução de equações diferenciais lineares.

5. Equações com Derivadas Parciais
5.1 Decomposição em série de Fourier de uma função periódica: Generalidades sobre funções periódicas; modos sen(2πt/n) e cos(2πt/n); a série de Fourier associada a uma função periódica suficientemente regular; condições suficientes de igualdade entre uma função e a respectiva série de Fourier; pontos de descontinuidade e fenómeno de Gibbs. Decomposição de uma função regular em série de senos/co-senos num dado intervalo.
5.2 Aplicações das Séries de Fourier às EDP: Generalidades sobre EDP; método de separação de variáveis. Aplicações ao caso parabólico (equação do calor), hiperbólico (equação das ondas) e elíptico (equação de Laplace).

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: