Análise Matemática III C

Objectivos

No final desta unidade curricular o estudante terá adquirido conhecimentos, aptidões e competências que lhes permitam

- resolver por diversos métodos equações diferenciais ordinárias (EDO) e obter informações qualitativas das soluções de EDOs e de sistemas de EDOs;

- entender a diferença entre equações lineares e não lineares;

- resolver equações com derivadas parciais.

Caracterização geral

Código

5004

Créditos

6.0

Professor responsável

João de Deus Mota Silva Marques

Horas

Semanais - 4

Totais - 56

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Domínio dos conteúdos das disciplinas de AM1C, AM2C e Álgebra Linear.

Bibliografia

ALVES DE SÁ, A.; LOURO, B. - Sucessões e Séries, Escolar Editora, 2ª Edição, 2014.

BOYCE, W. E., DIPRIMA, R., - Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 11ª edição, John Wiley and Sons, Inc., 2017.

DENG, Y. - Lectures, Problems And Solutions For Ordinary Differential Equations, World Scientific, 2017.

NOONBURG, V. W. - Differential Equations: From Calculus to Dynamical Systems, Maa Press, 2019.

PENNEY, D., EDWARDS, C. H., - Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems, 5ª edição, Pearson Education, Inc., 2015.

Método de ensino

As aulas teóricas consistem numa exposição oral com demonstração de alguns dos resultados considerados mais relevantes. As matérias são ilustradas com exemplos de aplicação.

Estão à disposição dos alunos folhas com exercícios propostos. Nas aulas práticas são resolvidos alguns dos exercícios referidos. Os exercícios que não são resolvidos nas aulas práticas fazem parte do trabalho individual de cada aluno. Quaisquer dúvidas teóricas ou na resolução de exercícios poderão ser esclarecidas em horários previamente estabelecidos para este efeito.

A avaliação é composta por três testes e para os que não obtiveram a aprovação na avaliação contínua há o exame de recurso. 

Método de avaliação

1. Requisitos

Só poderão apresentar-se a qualquer das provas escritas e consequentemente ser avaliados na disciplina, os alunos que:

i.  se tenham inscrito para realizar a prova até uma semana antes da respectiva data;

ii. no acto da prova sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão,  Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante).

2. Frequência 

Todos os alunos que frequentaram a disciplina no ano lectivo 2019/2020 obtiveram frequência, pelo que estão dispensados neste semestre.

Os alunos de 1ª inscrição terão que obter frequência segundo novas regras que serão oportunamente divulgadas.

3. Avaliação contínua

Ao longo do semestre serão realizados três testes. Para poder realizar qualquer prova, o aluno tem de satisfazer o critério de Frequência, ou dele estar dispensado. Nas condições anteriores, seja T1 a classificação obtida no primeiro teste , T2 a obtida no segundo e T3 a obtida no terceiro (todas em valores não arredondados). Considere-se

AC = (T1+T2+T3)/3.

Se AC=9.5 e T3>=7.0 a classificação final ACF será AC depois de arredondada às unidades.

Para ser aprovado por Avaliação Contínua, o aluno terá que obter, pelo menos, 7.0 valores no terceiro teste e classificação final, ACF, superior ou igual a 10 valores. Se 10 ≤ ACF ≤ 16, o aluno fica aprovado com a classificação final ACF. Se ACF ≥ 17, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

4. Época de recurso

Podem apresentar-se a exame na época de recurso todos os alunos inscritos, e ainda não aprovados na disciplina, que estejam nas condições do ponto 2.

Se o aluno obtiver a classificação CE na prova, a classificação final, CF, será AC depois de arredondada às unidades.

Se 10 ≤ CF ≤ 16, o aluno fica aprovado com a classificação final CF. Se CF ≥ 17, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

5. Melhoria de nota

Os alunos poderão realizar exame de melhoria de nota na data correspondente à época de recurso. Todo o aluno que pretenda fazê-lo deve cumprir, para esse efeito, as formalidades legais de inscrição.

A classificação final será igual à obtida no exame, devidamente arredondada às unidades. Se esta classificação for superior ou igual a 17 valores, o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.

Conteúdo

1. Séries numéricas
1.1 Convergência de Séries Numéricas. Condição Necessária de Convergência. Séries Telescópicas. Séries Geométricas.
1.2 Séries de termos não negativos. Séries de Dirichlet. Critérios de Comparação. Critério da Razão. Critério de D''''Alembert. Critério da Raiz. Critério de Cauchy.
1.3 Convergência Simples e Absoluta. Séries Alternadas e Critério de Leibniz.
2. Séries de Potências
2.1 Séries de Potências. Séries de Taylor de funções analíticas.

3. Equações Diferenciais Ordinárias
3.1 Equações Diferenciais de Primeira Ordem: Campo de Direcções associado a uma EDO de 1ª ordem; curvas integrais do campo e soluções. Alguns resultados de Existência e de Unicidade de soluções: os Teoremas de Picard e de Peano. Noção de solução implícita de uma equação diferencial. Equações autónomas e soluções de equilíbrio. Equações lineares, separáveis e de Bernoulli. Equações exactas e noção de factor integrante.
3.2 Equações Diferenciais de Segunda Ordem. Caso das equações homogéneas: polinómio característico e base do espaço vectorial solução. Generalização ao caso de equações diferenciais lineares homogéneas de ordem n≥3. Determinante Wronskiano e noção de independência linear de uma família de funções; estrutura afim do conjunto de soluções de uma EDO linear de 2ª ordem. Método de variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados. Noção de ressonância.
3.3 Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias através do uso de séries de potências.
3.4 Sistemas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes: Generalidades e estrutura das soluções. Base do espaço vectorial solução; Relação entre o espectro do sistema linear associado e a estabilidade das soluções de equilíbrio.

4. Transformada de Laplace
4.1 Definição. Transformada de Laplace das funções usuais: Polinómios, exponencial e funções trigonométricas.
4.2 Efeito na Transformada de Laplace da multiplicação por uma exponencial e por uma função linear. Transformada de Laplace da derivada de uma função e da função trasladada.
4.3 Transformada de Laplace da função de Heaviside e da distribuição de Dirac.
4.4 Transformada de Laplace e Convolução. Transformada de Laplace inversa.
4.5 Aplicações à resolução de equações diferenciais lineares.

5. Equações com Derivadas Parciais
5.1 Decomposição em série de Fourier de uma função periódica: Generalidades sobre funções periódicas; modos sen(2πt/n) e cos(2πt/n); a série de Fourier associada a uma função periódica suficientemente regular; condições suficientes de igualdade entre uma função e a respectiva série de Fourier; pontos de descontinuidade e fenómeno de Gibbs. Decomposição de uma função regular em série de senos/co-senos num dado intervalo.
5.2 Aplicações das Séries de Fourier às EDP: Generalidades sobre EDP; método de separação de variáveis. Aplicações ao caso parabólico (equação do calor), hiperbólico (equação das ondas) e elíptico (equação de Laplace).