Análise Matemática II B

Objectivos

No final desta unidade curricular o estudante terá adquirido conhecimentos, aptidões e competências que lhe permitam:

- Trabalhar com noções elementares de topologia em Rn,  (vizinhança, aberto, fechado, etc.);

- Compreender a noção rigorosa de limite, continuidade e diferenciabilidade de funções vectoriais de variável real.

-  Aplicar as funções vectoriais de variável real nas parametrizações das curvas e no estudo das respectivas propriedades.

- Compreender a noção rigorosa de limite e continuidade de funções reais e vectoriais de várias variáveis e calcular limites.

- Conhecer a noção de derivada parcial, diferenciabilidade,  os teoremas da função implícita e da função inversa.

- Conhecer o desenvolvimento de Taylor  e aplicações ao estudo de funções e cálculo de extremos.

- Conhecer a noção de  integral duplo e triplo e saber calcular estes integrais usando as coordenadas mais adequadas.

- Conhecer algumas aplicações dos integrais duplo e triplo.

- Conhecer a noção de integral de linha, suas aplicações e respectivos resultados fundamentais.

- Conhecer a noção de integral de superfície, aplicação ao cálculo do fluxo e respectivos resultados.

Caracterização geral

Código

10476

Créditos

6.0

Professor responsável

Marta Cristina Vieira Faias Mateus, Rogério Ferreira Martins

Horas

Semanais - 4

Totais - 56

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Cálculo diferencial e integral em R. Rudimentos de cálculo matricial.

Bibliografia

H. Anton, I. Bivens, S. Davis, Cálculo, volume 2, 8ª edição, Bookman, Porto Alegre, 2007.

G. E. Pires, Cálculo diferencial e integral em Rn, IST Press, Lisboa, 2012.

Método de ensino

As aulas teóricas consistem em exposição da matéria, que é ilustrada com exemplos de aplicação.

As aulas práticas consistem na resolução de exercícios de aplicação dos métodos e resultados apresentados nas aulas teóricas. Estes exercícios são escolhidos numa lista fornecida pelos docentes.

Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor. 

Método de avaliação

1 - Frequência     

Um aluno está dispensado de frequência se tiver estatuto especial previsto no regulamento de avaliação da FCT/UNL ou se tiver obtido frequência na UC no último semestre em que esteve inscrito na UC.

Para obter frequência este semestre um aluno tem de entregar exercícios resolvidos correspondentes a 6 aulas práticas, como descrito no ponto 2 em baixo. 

2 - Avaliação Contínua

A Avaliação Contínua da unidade curricular é efetuada com recurso a:

1) Avaliação Teórico-Prática: Dois testes escritos presenciais, cada um com duração de uma hora e meia, a realizar durante o semestre.

2) Avaliação Sumativa: entrega de exercícios resolvidos ao docente das aulas práticas. Em 10 aulas práticas vão ser escolhidos dois exercícios que os alunos devem entregar ao docente da aula prática de acordo com o prazo definido. Em cada aula pratica, de entre todos os alunos que entregaram os exercícios, alguns serão escolhidos ao acaso para discutirem a resolução desses exercícios.   A nota final desta componente, entre 0 e 1 valor, vai ser atribuída pelo professor com base nas resoluções entregues e respetivas discussões. Nesta componente de avaliação, mais do que entregar uma resolução correta, vai ser valorizado o trabalho do aluno.

Ao primeiro (t1) e ao segundo (t2) teste será atribuída uma classificação entre 0 e 20 valores. À componente de Avaliação Sumativa (p) será atribuída uma classificação entre 0 e 1 valor.  Um aluno que cumpra o critério de Frequência acima explicitado, terá uma classificação final por Avaliação Contínua igual a   0.475( t1 + t2) + p.

O aluno obterá aprovação na unidade curricular se esta classificação for superior ou igual a 10 valores. Caso contrário, o aluno terá reprovado por Avaliação Continua à unidade curricular.

3 – Época de Recurso

Os alunos reprovados por Avaliação Contínua, que tenham obtido Frequência à unidade curricular ou que dela tenham sido dispensados, podem apresentar-se a uma prova complementar, adiante designada por Exame, a realizar na época de recurso.

O Exame consiste numa prova escrita, com duração de 3 horas, que avalia a totalidade dos conteúdos lecionados na unidade curricular. A prova está dividida em duas partes, E1 e E2, cuja matéria avaliada corresponde, respetivamente, à avaliada nos 1º e 2º testes.

Ao Exame será atribuída uma classificação (E) entre 0 e 20 valores, sendo a classificação final do aluno igual a 0.95 E+ p, arredondada às unidades.

O aluno obterá aprovação na unidade curricular se esta classificação for superior ou igual a 10 valores. Caso contrário, o aluno terá reprovado à unidade curricular.

Em alternativa, o aluno pode realizar apenas uma das partes do Exame, E1 ou E2, cuja duração será nesse caso igual à dos testes (1h e 30m). A obtenção de aprovação à unidade curricular e a determinação da respetiva classificação final seguirá neste caso as regras de aprovação por Avaliação Contínua, substituindo-se a classificação do teste repetido pela nova classificação e mantendo-se inalteradas as restantes.

Ao inscreverem-se para a realização do Exame, os alunos devem indicar que tipo de avaliação pretendem efetuar (E, E1 ou E2).

4 - Defesa de Nota

Todos os alunos com uma classificação final superior ou igual a 18 valores podem, caso o desejem, apresentar-se a uma prova de defesa de nota. A não realização desta prova implica uma classificação final de 17 valores à unidade curricular.

5 - Melhoria de Classificação

Os alunos aprovados na unidade curricular podem requerer, mediante o cumprimento de todas as disposições impostas pela FCT NOVA, Melhoria de Classificação.

Se tiverem obtido aprovação à unidade curricular no presente semestre, na altura de inscrição para a prova, podem optar por realizar E, E1 ou E2, sendo a sua classificação provisória determinada tal como no caso dos alunos que estão a tentar a aprovação. A designação de classificação provisória é porque para notas superiores ou iguais a a 18 valores o resultado final depende da realização de uma prova de defesa de nota.

No caso de terem obtido aprovação à unidade curricular noutro semestre, devem realizar o Exame na totalidade. A sua classificação provisória será igual à nota de Exame (arredondada às unidades).  A sua classificação  será igual à nota de Exame (arredondada às unidades) se obteve entre 10 e 17 valores. Para notas superiores ou iguais a 18 valores o resultado final depende da realização de uma prova de defesa de nota.

 

6 - Logística

Com o objetivo de racionalizar os recursos da FCT NOVA (instalações, pessoal docente e pessoal não docente), apenas se podem apresentar a cada um dos testes da Avaliação Contínua e ao Exame os alunos devidamente inscritos para o efeito através da página CLIP da unidade curricular. Devem ainda apresentar-se munidos de um caderno de prova em branco, material de escrita e documento de identificação oficial, com fotografia recente.

Conteúdo

1. Revisão de alguns conceitos de Geometria Analítica

  1.1.Cónicas.

  1.2.Quádricas.

 

2.Limites e Continuidade em Rn

  2.1.Noções Topológicas em Rn.

  2.2.Funções Vetoriais e Funções de Várias Variáveis Reais: Domínio, Gráfico, Curvas e Superfícies de Nível.

  2.3.Limite e Continuidade de Funções de Várias Variáveis Reais.

 

3. Cálculo Diferencial em Rn

3.1.Derivadas Parciais e Teorema de Schwarz.

3.2.Derivada segundo um vetor. Matriz Jacobiana. Vetor Gradiente e noção de Diferenciabilidade.

3.3.Diferenciabilidade da Função Composta. Teorema de Taylor. Teorema de Função Implícita e Teorema da Função Inversa.

3.4.Extremos Relativos. Extremos Condicionados e Multiplicadores de Lagrange.

 

4. Cálculo Integral em Rn

  4.1.Integrais Duplos. Integrais Iterados e Teorema de Fubini. Mudança de variável em Integrais Duplos. Integrais Duplos cm Coordenadas Polares. Aplicações.

  4.2.Integrais Triplos. Integrais Iterados e Teorema de Fubini. Mudança de variável em Integrais Triplos. Integrais Triplos em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas. Aplicações.

 

5. Análise Vetorial

  5.1.Campos Vetoriais: Gradiente, Divergência e Rotacional. Campos Fechados. Campos Conservativos. Aplicações.

  5.2.Formalismo das Formas Diferenciais. Integrais de Linha de Campos Escalares e de Campos Vetoriais. Teorema Fundamental para Integrais de Linha. Teorema de Green. Aplicações.

  5.3.Integrais de Superfície de Campos Escalares. Fluxo de um Campo Vetorial através de uma Superfície. Teorema de Stokes e Teorema de Gauss-Ostrogradsky. Aplicações.