Cálculo Numérico B

Objectivos

O objectivo é de apresentar e de ilustrar vários métodos numéricos para a resolução prática de algumas classes de problemas matemáticos: equações não lineares, aproximação de funções, integração, sistemas de equações e equações diferenciais ordinárias.

Caracterização geral

Código

12686

Créditos

6.0

Professor responsável

Maria Paula da Costa Couto

Horas

Semanais - 4

Totais - 56

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Conhecimentos básicos em análise matemática e álgebra linear.

Bibliografia

  • Atkinson K., An Introduction to Numerical Analysis,
    Wiley, Second Edition, 1989.

  • Burden R. e Faires J. , Numerical Analysis, Brooks-Cole Publishing Company, 9th Edition, 2011.

  • Pina H., Métodos Numéricos, Mc Graw Hill, 1995

  • Santos, F. Correia dos; Duarte, Jorge; Lopes, Nuno D.,
    Fundamentos de Análise Numérica (Com Python 3 e R), Edições Sílabo, 2019 (2ª edição).

Método de ensino

A cadeira funciona com aulas Teórico-Práticas (TP), nas quais serão explicados e discutidos os sucessivos tópicos do programa da cadeira. Por forma a consolidar a matéria dada , nas aulas serão resolvidos exercícios relativos a cada um dos tópicos abordados.

A avaliação da cadeira consiste na realização de dois testes que versam os conhecimentos adquiridos nas aulas da cadeira e/ou um trabalho computacional a ser elaborado em grupo.


Método de avaliação

1.Frequência

É atribuída FREQUÊNCIA:

  • aos alunos que tenham comparecido a pelo menos 2/3 das aulas (teoricas/práticas) lecionadas durante o semestre.
  • aos alunos com estatuto de trabalhador/estudante ou qualquer outro reconhecido pelas regras de avaliação da Faculdade.
  • aos alunos que no ano anterior tenham obtido frequência. 

2. Avaliação

Todas as provas são classificadas de 0 a 20 valores. Um aluno obtém aprovação se a nota final na UC for maior ou igual a 9.5 valores.

No ato de qualquer prova (teste ou exame) o aluno terá de ser portador do seu Cartão de Cidadão ou documento de identificação oficial.

Para os testes ou exames o aluno poderá usar máquina de calcular, que poderá ser de tipo gráfico. Além da máquina de calcular não poderá utilizar nenhum outro material eletrónico.

A avaliação nesta UC poderá ser feita por avaliação contínua ou por exame de recurso. As avaliações serão presenciais.


2.1 Avaliação contínua

A avaliação durante o semestre consiste na realização de dois testes com a duração de duas horas cada e de um trabalho computacional a realizar em grupos de 3 ou 4 alunos. A realização do trabalho computacional é facultativa. Sejam NT1 e NT2 as classificações dos testes 1 e 2, respetivamente e NTC a classificação do trabalho computacional. Se o aluno desistir ou não comparecer a um teste, a classificação desse teste será de 0 valores.

Caso o aluno realize o trabalho computacional, a nota da avaliação contínua (Nav) é dada por:

Nav = 0.45 × NT1 + 0.45 × NT2 + 0.10 × NTC.

Caso o aluno não realize o trabalho computacional, a nota da avaliação contínua (Nav) é dada por:

Nav = 0.5 × NT1 + 0.5 × NT2

Se Nav < 9.5 valores o aluno reprova na avaliação contínua (podendo ir a exame de recurso);

Se Nav ≥ 9.5 valores o aluno obtém aprovação na UC com a classificação Nav arredondada às unidades;

 

2.2 Exame de Recurso

Pode apresentar-se a exame de recurso todo o aluno ainda não aprovado na disciplina. O exame de recurso tem a duração de 3 horas.

Se a classificação no exame de recurso, CR, for inferior a 9.5 valores o aluno reprova;

Se CR  ≥ 9.5 e o aluno tiver realizado trabalho computacional, a nota de recurso; NR será dada por:

NR = max {CR, 0.90 × CR + 0.10 × NTC};

Se CR  ≥ 9.5 e o aluno não tiver realizado trabalho computacional, a nota de recurso; NR será apenas CR.

 

3. Melhoria de classificação

Todo o aluno já aprovado que pretenda efetuar melhoria de nota deve inscrever-se, para esse efeito, na Repartição Académica.

A classificação de exame de melhoria de classificação é efetuada de modo análogo ao da Época de Recurso.         

Se o resultado for superior ao já obtido na U.C, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota, mantendo-se a classificação anterior.

 

4. Época especial

Só pode apresentar-se a época especial todo o aluno inscrito para o efeito na Repartição Académica. A classificação de exame de época especial é efetuada de modo análogo ao da Época de Recurso.

Conteúdo

1.Introdução

1.1 Erros, casas decimais signicativas e algarismos signicativos.

1.2 Condicionamento de um problema e estabilidade de um método.

1.3 Introdução a um programa computacional para a Análise Numérica.

2. Interpolação e Aproximação  Polinomial

2.1 Interpolação e polinómios de Lagrange.

2.2 Diferenças divididas, polinómio interpolador de Newton.

2.3 Interpolação por splines cúbicos.

2.4 Aproximação pelo Método dos Mínimos Quadrados.

3. Integração Numérica

3.1 Fórmulas de integração numérica de Newton-Cotes simples e compostas.

3.2 Método de integração de Gauss.

4. Resolução de equações não lineares

4.1 Método da bissecção.

4.2 Método do ponto fixo. Método de Newton. Método da secante.

5. Resolução de sistemas de equações lineares

5.1 Normas vectoriais e normas matriciais. Condicionamento de um sistema.

5.2 Valores próprios e vectores próprios. Localização de valores próprios (Teorema de

Gershgorin).

5.3 Métodos iterativos : caso geral.

5.4 Métodos de Jacobi, de Gauss-Seidel e de Relaxação.

6. Resolução numérica de equações diferenciais ordinárias

6.1 Métodos de Euler.

6.2 Métodos de Taylor.

6.3 Métodos de Runge-Kutta.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: