Análise Matemática III B

Objectivos

O aluno deve compreender os conceitos e ser capaz de efectuar os cálculos com eles relacionados

 

Caracterização geral

Código

5005

Créditos

6.0

Professor responsável

Paulo José Fernandes Louro Ribeiro Doutor

Horas

Semanais - 4

Totais - 59

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Os pré-requisitos consistem nos conceitos básicos de cálculo a uma e mais variáveis, leccioonadas nas disciplinas de Análise Matemática I e II.

Bibliografia

AGARWAL, R., PERERA, K. e PINELAS, S., An Introduction to Complex Analysis, 2011, Springer

ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S.,  Cálculo II; 8ª Edição, Bookman, 2007. 

ASMAR, N. H. e GRAFAKOS, L., Complex Analysis with Applications, Springer, 2018.

CAMPOS FERREIRA, J., Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 1982. 

CARREIRA, M. A. e NÁPOLES, M. S., Variável complexa - Teoria elementar e exercícios resolvidos, McGraw-Hill. 

DIAS AGUDO, F. R., Análise Real, 2ª edição, Livraria Escolar Editora, 1994.  

SAFF, E. B. e SNIDER, A. D., Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science - 3rd Edition, Pearson Education, 2003.

SÁ, A. e LOURO, B., Sucessões e Séries, Teoria e Prática. Escolar Editora, 2009.

STEIN, E. M. e SHAKARCHI, R., Complex Analysis, Princeton Lectures in Analysis, 2003.

Método de ensino

Método de ensino baseado na leccionação de aulas teóricas e aulas práticas, apoiadas com horários de atendimento

Método de avaliação

Frequência

Nesta edição da unidade curricular não haverá avaliação de frequência.


Avaliação de conhecimentos

A avaliação de conhecimentos é realizada através de Avaliação Contínua ou Exame de Recurso, presenciais. A Avaliação Contínua é composta por dois testes e nota da avaliação em aula.

É proibido utilizar máquinas de calcular gráficas, ou quaisquer instrumentos de suporte de cálculo durante momentos de avaliação.


Avaliação em Aula (AEA)

Para cada semana, será disponibilizado antecipadamente uma lista de exercícios propostos para os alunos trabalharem antes das aulas práticas (quer presenciais, quer online). Quinzenalmente,  nos últimos minutos da aula prática, os alunos resolverão um exercício da lista e entregarão ao docente. No início da aula prática seguinte corrigirão a resolução entregue por um dos seus colegas na aula anterior. No final do semestre, o docente da aula prática em que o aluno se encontra inscrito no CLIP irá atribuir uma nota de 0 a 4 valores, com base nas resoluções e correções feitas pelo aluno ao longo do semestre.

 

Testes

Ao longo do semestre serão realizados dois testes com duração de 1 hora 30 minutos. Cada teste tem classificação até um máximo de 8 valores.


Avaliação Contínua

A classificação da avaliação contínua (NF) obtém-se somando as classificações dos testes e a avaliação em aula, caso seja a primeira inscrição do aluno na unidade curricular. Caso contrário, NF é calculada arredondando às unidades o máximo entre: 1) a soma das classificações dos testes e a avaliação em aula e 2) a soma das classificações dos testes multiplicada por 20/16.

O aluno obtém aprovação à cadeira se NF≥10. Se NF≤16, o aluno fica aprovado com a classificação final NF. Se NF≥17, o aluno pode optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.


Exame de Recurso 

Na data do exame de recurso, os alunos ainda não aprovados podem optar por repetir um dos testes de 1 hora e 30 minutos. Se o aluno optar por repetir um dos testes, a classificação é calculada tal como no caso da avaliação contínua. Se o aluno realizar o exame de recurso, que é classificado até 20, NF obtém-se arredondando às unidades o máximo entre: 1) a classificação do exame e 2) a soma da classificação do exame e a avaliação em aula multiplicada por 20/24.

O aluno obtém aprovação à cadeira se NF≥10. Se NF≤16, o aluno fica aprovado com a classificação final NF . Se NF≥17, o aluno pode optar entre ficar com a classificação final de 16 valores ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.


Melhoria de nota

Os alunos têm direito de efetuar melhoria de nota, mediante inscrição nos prazos fixados, na época de recurso. Nesse caso, poderão efetuar o Exame de 3 horas ou repetir um dos Testes de 1 hora 30 minutos como descrito na alínea anterior. No caso em que um aluno faz melhoria tendo obtido aprovação num semestre anterior, só poderá efetuar o Exame de 3 horas.

Logística
Com o objetivo de racionalizar os recursos da FCT (instalações, pessoal docente e pessoal não docente), só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que se inscrevam para o efeito através do CLIP, no decurso do período aí estipulado.

Se na época de recurso o aluno optar por repetir um dos testes deve inscrever-se para em conformidade, caso contrário realizará exame de recurso.

Só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que, no ato da prova, sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão, Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante) e caderno de exame em branco.


Considerações finais

Em qualquer situação omissa, aplica-se o Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa.

Conteúdo

1. Séries

1.1 Séries numéricas

1.1.1 Convergência de Séries Numéricas. Condição Necessária de Convergência. Séries Telescópicas. Séries Geométricas.

1.1.2 Séries de termos não negativos. Critério do integral. Séries de Dirichlet. Critérios de comparação. Critério da Razão. Critério de d’Alembert. Critério da Raiz. Critério da Raiz de Cauchy. Critério de Kummer. Critério de Raabe.

1.1.3 Convergência simples e absoluta. Séries alternadas e Critério de Leibniz. Multiplicação de séries.

1.2 Séries de Funções

1.2.1. Sucessões de funções. Convergência pontual e convergência uniforme.

1.2.2 Séries de funções: convergência pontual e convergência uniforme. Critério de Weierstrass. Continuidade. Integrabilidade e diferenciabilidade termo a termo.

1.2.3 Séries de potências. Raio de convergência. Intervalo de convergência. Convergência uniforme. Integrabilidade e diferenciabilidade termo a termo.

1.2.4 Séries de Taylor e de MacLaurin.

2. Análise complexa

2.1 Generalidades sobre o corpo dos números complexos; conjugado, módulo e argumento; forma polar de um número complexo. Raízes n-ésimas de números complexos. Fórmulas de De Moivre.

2.2 Funções polinomiais de variável complexa. Função exponencial, funções trigonométricas circulares e hiperbólicas, ramo principal do logaritmo e funções trigonométricas inversas.

2.3 Limites e continuidade de funções complexas de variável complexa.

2.4 Funções Holomorfas. Equações de Cauchy-Riemann.

2.5 Integral de uma função complexa de variável complexa ao longo de uma curva seccionalmente regular.

2.6 Teorema de Cauchy. Fórmulas integrais de Cauchy

2.7 Funções analíticas. Séries de Taylor. Relação com as funções holomorfas.

2.8 Singularidades essenciais, polos e singularidades removíveis. Séries de Laurent.

2.9 Teorema dos resíduos. Aplicações ao cálculo dos integrais impróprios.