Análise Matemática IV B

Objectivos

Pretende-se que o aluno se familiarize com as técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira e de segunda ordem, de sistemas de equações diferenciais e de equações com derivadas parciais. Alguns outros importantes tópicos, próximos às equações diferenciais, também serão estudados.

Caracterização geral

Código

5006

Créditos

6.0

Professor responsável

António Patrício Alexandre

Horas

Semanais - 4

Totais - 70

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos


- Análise Matemática I, II e III; Álgebra Linear.

Bibliografia

- Texto da autoria do Professor FÁBIO CHALUB disponível em: https://sites.google.com/site/fabiochalub/teaching

- M. BRAUN, Differential Equations and Their Applications. Springer-Verlag.

- R. DIPRIMA & W.E. BOYCE, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. John Wiley & Sons.

- D.G. ZILL, Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. Pioneira Thomson Learning.

- E. KREYSZIG, Advanced Engineering Mathematics. John Wiley & Sons.

- F. BRAUER & J.A. NOHEL, Introduction to Differential Equations with Applications. Harper & Row, Publishers.

- N.H. ASMAR, Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems. Pearson Prentice Hall.

- G. BIRKHOFF & GIAN-CARLO ROTA, Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons.

- T.G. FEEMAN, The Mathematics of Medical Imaging: A Beginner''''''''''''''''s Guide. Springer-Verlag.

Método de ensino

Aulas teórico-práticas (3 horas por semana) e aulas práticas (1 hora por semana). Exercícios para casa e exercícios a serem resolvidos nas aulas práticas.

Método de avaliação

1- REQUISITO:

- Só poderão apresentar-se a qualquer das provas escritas, e consequentemente ser avaliados na disciplina, os alunos que:

i. satisfaçam o critério de Frequência, ou dele estejam dispensados;

ii. se tenham inscrito para realizar a prova na página da disciplina na plataforma Clip, até uma semana antes da respectiva data;

iii. no acto da prova sejam portadores de um documento oficial de identificação, onde conste uma fotografia (por exemplo, Cartão de Cidadão,  Bilhete de Identidade, Passaporte, algumas versões de Cartão de Estudante);

iv. se apresentem munidos de um Caderno de Exame em branco.

2- FREQUÊNCIA

- Será concedida Frequência a qualquer aluno que não falte, injustificadamente, a mais do que um terço das aulas práticas leccionadas, correspondentes ao turno em que se encontra inscrito.

- Os alunos que queiram justificar as suas faltas devem entregar ao docente do turno a que pertencem o respetivo comprovativo de justificação no prazo de 5 dias úteis, a contar da data em que ocorreram essas mesmas faltas.

- Estão dispensados da obtenção de Frequência todos os alunos que possuam um estatuto especial que contemple a referida dispensa (trabalhador estudante ou qualquer outro reconhecido pelas regras gerais de avaliação da FCT-UNL).

3- AVALIAÇÃO CONTÍNUA

- Ao longo do semestre serão realizados dois testes. Qualquer um destes testes terá uma classificação entre 0 (zero) e 20 (vinte) valores. Para efeitos de avaliação final, as classificações individuais destes testes serão consideradas em valores não arredondados.

- Para ser aprovado por Avaliação Contínua, o aluno terá que obter:

i. pelo menos, 7.0 valores no segundo teste;

ii. soma das classificações dos dois testes dividida por dois, AC, superior ou igual a 9.5 valores.

Nesta situação,  a classificação final é obtida arredondando AC para o inteiro mais próximo (n.5 é arredondado para n+1).

Os alunos que obtiverem uma classificação final na Avaliação Contínua superior ou igual a 16 valores poderão ter de realizar uma prova suplementar para defesa de nota.

4- ÉPOCA DE RECURSO

- Podem apresentar-se a exame na época de recurso todos os alunos inscritos, e ainda não aprovados na disciplina, que estejam nas condições do ponto 2.

Se o aluno obtiver a classificação CE na prova, então:

i. se CE for menor do que 9.5 o aluno fica reprovado à disciplina;

ii. se CE for superior ou igual a 9.5 o aluno fica aprovado à disciplina, sendo a classificação final obtida por arredondamento de CE para o inteiro mais próximo (n.5 é arrendodado para n+1).

Os alunos que obtiverem uma classificação final na Época de Recurso superior ou igual a 16 valores poderão ter de realizar uma prova suplementar para defesa de nota.

Conteúdo

 

1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO)
 
1.1- Equações diferenciais de primeira ordem: campo de direcções associado a uma EDO de 1ª ordem; curvas integrais do campo e soluções. Alguns resultados de existência e unicidade de soluções: os teoremas de Picard e de Peano. Noção de solução implícita de uma equação diferencial. Equações autónomas e soluções de equilíbrio. Equações lineares, separáveis e de Bernoulli. Equações exactas e noção de factor integrante.
 
1.2- Equações diferenciais de segunda ordem. Caso das equações homogéneas: polinómio característico e base do espaço vectorial solução. Generalização ao caso de equações diferenciais lineares homogéneas de ordem n>=3. Determinante Wronskiano e noção de independência linear de uma família de funções; estrutura afim do conjunto de soluções de uma EDO linear de 2ª ordem. Método de d''''''''''''''''Alembert. Método de variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados. Noção de ressonância.
 
1.3- Sistemas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes: generalidades e estrutura das soluções. Base do espaço vectorial solução; relação entre o espectro do sistema linear associado e a estabilidade das soluções de equilíbrio.
 
1.4- Resolução de equações diferenciais ordinárias através do uso de séries de potências. Resolução de equações diferenciais ordinárias através do uso de funções de Bessel, de Lagrange e de Hermite.
 
2. TRANSFORMADA DE LAPLACE
 
2.1- Definição. Transformada de Laplace das funções usuais: polinómios, exponencial e funções trigonométricas.
 
2.2- Efeito na transformada de Laplace da multiplicação por uma exponencial e por uma função linear. Transformada de Laplace da derivada de uma função e da função trasladada.
 
2.3- Transformada de Laplace da função de Heaviside e da distribuição de Dirac.
 
2.4- Transformada de Laplace e convolução. Transformada de Laplace inversa.
 
2.5- Aplicações à resolução de equações diferenciais lineares.
 
3. EQUAÇÕES COM DERIVADAS PARCIAIS (EDP)
 
3.1- Decomposição em série de Fourier de uma função periódica: generalidades sobre funções periódicas; modos sin(2 Pi t/n) e cos(2 Pi t/n); a série de Fourier associada a uma função periódica suficientemente regular; condições suficientes de igualdade entre uma função e a respectiva série de Fourier; pontos de descontinuidade e fenómeno de Gibbs. Decomposição de uma função regular em série de senos/co-senos num dado intervalo.
 
3.2- Aplicações das séries de Fourier às EDP: generalidades sobre EDP; método de separação de variáveis. Aplicações ao caso parabólico (equação do calor), hiperbólico (equação das ondas) e elíptico (equação de Laplace).
 
4. TRANSFORMADA DE FOURIER
 
4.1- Definição. Propriedades elementares da transformada de Fourier. Transformada de Fourier inversa. Aplicações à resolução de equações diferenciais lineares.
 
5. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DAS VARIAÇÕES
 
5.1- Introdução. Definição de funcional e de Lagrangiano. Lema fundamental do cálculo das variações e equações de Euler-Lagrange.
 
5.2- Exemplos clássicos do cálculo das variações: curvas geodésicas, lei de Snell-Descartes, curva catenária, problema braquistócrono, problema isócrono. Aplicações.
 
6. INTRODUÇÃO À TRANSFORMADA DE RADON
 
6.1- Definição de transformada de Radon. Aplicações.